推理与证明章末复习课件.ppt

本 章 归 纳 整 合,知识网络,要点归纳 1归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明 2演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性,3直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法 4数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时，它的两个步骤缺一不可它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1时结论也成立数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立,5归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明,专题一 归纳推理和类比推理 归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证,【例1】 如图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两数均为n，记第n(n1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行的数据关系可以得到递推关系_，并通过有关求解可以得到通项f(n)_.,【例2】 自然数按下表的规律排列 则上起第2 007行，左起第2 008列的数为 ( ) A2 0072 B2 0082 C2 0062 007 D2 0072 008,解析 经观察可得这个自然数表的排列特点： 第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2； 第一行第n个数为(n1)21； 第n行从第1个数至第n个数依次递减1； 第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为(2 0081)212 0062 0072 008. 答案 D,专题二 直接证明 由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用,【例5】 如图，在四面体BACD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF平面ACD； (2)平面EFC平面BCD.,证明 (1)要证直线EF平面ACD， 只需证EFAD且EF平面ACD. 因为E，F分别是AB，BD的中点， 所以EF是ABD的中位线， 所以EFAD， 所以直线EF平面ACD.,专题三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题,【例6】 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB、DF的中点 (1)若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线,图(1),图(2),(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN， 两正方形不共面， AB平面DCEF. 又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，,ABEN. 又ABCDEF， ENEF， 这与ENEFE矛盾，故假设不成立 ME与BN不共面，即它们是异面直线,专题四 数学归纳法 1数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换 2探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明,命题趋势 1从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中因此，对本部分知识的复习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明,2直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容从近三年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的,3数学归纳法是解决与正整数有关的数学命题证明的一种方法，是高考常考的一个重要内容 从近三年的新课标高考看，对本部分的考查常常在解答题中进行，且多为解答题中的某一个小问，但考查问题多涉及数列、不等式、整除问题以及几何问题等，范围广因此，备考中，我们要做好以下几点：其一，要抓住数学归纳法证明数学命题的原理，明晰其内在的联系；其二，要把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步间的区别联系；其三，要熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧，并在证明的过程中注意使用,高考真题 1(2011陕西高考)观察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此规律，第五个等式应为_,解析 由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五个等式为56789101112139281. 答案 567891011121381,2(2010陕西高考)观察下列等式： 132332,