2018届高三数学复习函数第三节函数的奇偶性与周期性课件文.pptx

文数 课标版,第三节 函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性 相反 . (3)在公共定义域内 (i)两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. () (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.() (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. () (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.() (5)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期. () (6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a0)的周期函 数. (),1.(2015北京,3,5分)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇 非偶函数,故选B.,2.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y= B.y=ex C.y=cos x D.y=ex-e-x 答案 D A、B选项中的函数为非奇非偶函数;C选项中的函数为偶函 数;D选项中的函数为奇函数,故选D.,3.(2014课标,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x) g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=| f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)| g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)| =|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.,4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),f(0)=0,T=4,f (8)=f(0)=0.,5.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a= ,b= . 答案 ;0 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a= . 由函数f(x)= x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点(图略),易得b= 0.,考点一 函数奇偶性的判断与应用 典例1 (1)下列函数:f(x)= + ;f(x)=x3-x;f(x)=ln(x+ );f(x)=ln ;f(x)=(x+1) ;f(x)= ;f(x)= 其中奇函数的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)(2015课标,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= . 答案 (1)D (2)1 解析 (1)f(x)= + 的定义域为-1,1,考点突破,又f(-x)=f(x)=0, 则f(x)= + 既是奇函数又是偶函数. f(x)=x3-x的定义域为R, f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则f(x)=x3-x是奇函数. 由x+ x+|x|0知f(x)=ln(x+ )的定义域为R, 又f(-x)=ln(-x+ )=ln =-ln(x+ )=-f(x),所以f(x)=ln(x+ )为奇函数. 由 0,得-1x1, 则f(x)=ln 的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln =ln =-ln =-f(x), 则f(x)为奇函数. 要使f(x)有意义,则 0, 解得-1x1,显然f(x)的定义域不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 因为 所以-2x2且x0. 所以函数f(x)的定义域关于原点对称, 且f(x)= = , 所以f(-x)= =- .,所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. 当x0时,-x0, f(x)=x2+x, f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x). 函数f(x)为奇函数.故选D. (2)由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ ln( -x)=0, ln( )2-x2=0,得ln a=0,a=1.,方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法,1.定义法,1-1 设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则 f(-1)= ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3,答案 A f(x)为定义在R上的奇函数,f(0)=0,b=-1,f(-1)=-f(1)= -(2+2-1)=-3.,1-2 函数f(x-1)是R上的奇函数,x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)-1,解得x2,故选C.,1-3 已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 答案 B 设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所 以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.,考点二 函数周期性的判断与应用 典例2 (1)(2016河南郑州模拟)已知函数f(x)= 如果对任 意的nN*,定义fn(x)= (x),那么f2 016(2)的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时, f(x)=2x-x2,则f (0)+f(1)+f(2)+f(2 016)= . 答案 (1)C (2)1 008 解析 (1)f1(2)=f(2)=1, f2(2)=f(1)=0, f3(2)=f(0)=2,fn(2)的值具有周期 性,且周期为3,f2 016(2)=f3672(2)=f3(2)=2,故选C. (2)f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2, 又当x0,2)时, f(x)=2x-x2,所以f(0)=0, f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2 016)=0, f(1)=f(3)=f(5)=f(2 015)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=1 008.,规律总结 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (2)f(x+a)= (a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (3)f(x+a)=- (a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期.,2-1 设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1)时, f(x)= 则f = ( ) A.0 B.1 C. D.-1 答案 D 因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f =f =f =4 -2=-1,故选D.,2-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)= ,当2x3 时, f(x)=x,则f(105.5)= . 答案 2.5 解析 由f(x+2)= 得f(x+4)=f(x+2)+2= = =f(x),f(x)是 以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x, f(105.5)=f(2.5)=2.5.,考点三 函数性质的综合问题 典例3 (1)已知奇函数f(x)在(-,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式 (x-1)f(x-1)0的解集为 ( ) A.(-3,-1) B.(-3,1)(2,+) C.(-3,0)(3,+) D.(-1,1)(1,3) (2)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x(0,1)时, f(x)=3x-1,则f = ( ) A. +1 B. -1 C.- -1 D.- +1 答案 (1)D (2)D 解析 (1)原不等式可化为 1x3;,或 -1x1. 综上,可知选D. (2)因为f(x+2)=f(x)=-f(-x), 所以f =f =f =-f =-f . 又当x(0,1)时, f(x)=3x-1, 所以f = -1, 则f =1- .,方法技巧 (1)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的 周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值; (2)利用函数性质解不等式问题,主要利用函数的奇偶性与单调性等将 函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解.,3-1 (2016广东广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当 x(0,2)时, f(x)=2x2,则f(7)= ( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 答案 A 因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(7)=f(7-8)=f(- 1),又因为f(x)为奇函数,且当x(0,2)时, f(x)=2x2,所以f(7)=f(-1)=-f(1)=-2, 故选A.,3-2 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)= ,若f(x)在-1,0 上是减函数,那么f(x)在2,3上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 答案 A 由题意知f(x+2)= =f(x),所以f(x)的周期为2,又函数f(x) 是定义域为R的偶函数,且f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在0,1上是增函 数,所以f(x)在2,3上是增函数.,3-3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增 函数,则 ( ) A. f(-25)f(11)f(80)