数理统计的基本概念2.ppt

第六章 数理统计的基本概念,从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作。但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断。,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科。,数理统计学是一门应用性很强的学科。 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析受随机影响的数据，并对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议。,几个实际问题：,1. 估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某品牌洗衣机50台的使用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，。根据这些数据希望得到如下推断： A可否认为产品的平均寿命不低于4年？ B保质期设为多少年，才能保证有95%以上的产品过关？,2商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以什么样的速度生产最为合理等等。,例 制衣厂为了合理的确定服装各种尺码的生产比例，需要调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取100人,得到他们的身长数据为: (1) 试推断男性成人身长X的概率密度 (2)若已知X服从正态分布N(,2), 试估计参数的,2值,已知“总体”的分布类型,对分布中的未知参数所进行的统计推断属于“参数统计”.,.,在数理统计中，不是对所研究的对象全体进行观察，而是抽取其中的部分进行观察获得数据，并通过这些数据对总体进行推断。,由于推断是基于抽样数据，抽样数据又不能包括研究对象的全部信息。因而由此获得的结论必然包含不肯定性。所以，在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法。,可以说：,概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用。但它们是并列的两个学科，并无从属关系。,1.总体,研究对象的全体称为总体，,总体中每个成员称为个体。,1 .随机样本,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况。这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体。,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性。从而可以把这种数量指标看作一个随机变量。,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述。,我们对总体的研究就是对一个随机变量的研究。,统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质。,由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质。,而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具。因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来。,在数理统计中，总体这个概念的本质是：,总体就是一个概率分布。,2. 样本,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本。样本中所包含的个体数目称为样本容量。,从某品牌轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5,但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 ( x1 , x2 , , xn )，称为样本的一次观察值，简称样本（观察）值 。,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法。,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性： X1 , X2 , , Xn 中每一个与所考察的总体有相同的分布。,2. 独立性： X1 , X2 , , Xn 是相互独立的随机变量。,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。 用（ X1 , X2 , , Xn ）表示。,“X1， ，Xn 为总体X的简单随机样本” 记作,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,3. 总体、样本、样本值的关系,总体（理论分布）,样本,样本值,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体。,？,2.抽样分布,一. 统计量,统计量是完全由样本决定的量。,样本X1， ，Xn是来自总体X的 一个样本，如果函数g(X1， ，Xn ) 不含未知参数，则称g(X1， ，Xn )是总体X的一个统计量。,几个常见统计量,样本均值,它反映了总体均值 的信息,样本方差,它反映了总体方差 的信息,4. 样本k阶原点矩,它反映了总体k 阶矩 的信息,5. 样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,6.经验分布函数 用S(x)表示样本X1， ，Xn中不大于x的随机变量个数。定义经验分布函数Fn(x)为,例如：,二. 抽样分布,统计量是样本的函数，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，统计量的分布称为“抽样分布” .,统计三大分布（来自正态总体）,定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,记为：,分布的密度函数为：,由 分布的定义，不难得到：,2) 设 且X1,X2相互 独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,E(X) = n, D(X)= 2n,4) 若,的分布近似正态分布N(0,1).,(应用中心极限定理可得),2、t 分布,记为： T t (n).,T 的密度函数为：,具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为: E ( T ) = 0 ; D ( T ) = n / (n-2) , 对 n 2,t分布的密度函数关于x=0对称，且,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。,当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布。 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大。,3、F分布,由定义可见，, F ( n2, n1),若XF(n1,n2)， X的概率密度为,X的数学期望为:,若n22,即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,一般地，,证：,令：,则,=0.1605,9.20,几个重要的抽样分布定理,定理