2020版高考数学总复习第七篇立体几何与空间向量（选修_1）第6节空间向量的运算及应用应用能力提升.docx

第6节空间向量的运算及应用【选题明细表】 知识点、方法题号空间向量的线性运算2,11共线定理、共面定理的应用1,4,6,8,9,10,13空间向量数量积的应用3,5,7,11,13,14基础巩固(建议用时:25分钟)1.在下列命题中:若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是(A)(A)0(B)1 (C)2(D)3解析: a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故不正确.综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于(B)(A)a-b+c(B)-a+b+c(C)a+b-c(D)a+b-c解析:=+=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c.故选B.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(D)(A)1(B)(C)(D)解析:依题意得(ka+b)(2a-b)=0,所以2k|a|2-kab+2ab-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,ab=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.故选D.4.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,),若a,b,c三向量共面,则等于(B)(A)9 (B)-9 (C)-3 (D)3解析:由题意知c=xa+yb,即(7,6,)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以解得=-9.故选B.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为(C)(A)a2(B)a2 (C)a2 (D)a2解析:如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.=(a+b),=c,所以=(a+b)c=(ac+bc)=(a2cos 60+a2cos 60)=a2.6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=.解析:=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),由题意得,所以=,所以m=0,n=0,所以m+n=0.答案:07.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角的大小是 .解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),=-7,|=,|=,所以cos =-,又因为0,所以=.答案:8.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DBAC,DCAB的点D的坐标为.解析:设点D(x,y,z),易知=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因为DBAC,DCAB,所以,则解得所以D(-1,1,2).答案:(-1,1,2)能力提升(建议用时:25分钟)9.O为空间任意一点,若=+,则A,B,C,P四点(B)(A)一定不共面(B)一定共面(C)不一定共面 (D)无法判断解析: 因为=+,且+=1.所以P,A,B,C四点共面.10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则|为(A)(A)a (B)a (C)a (D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,),所以|=a.11.(2018上海交大附中模拟)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,16)是上、下底面上其余十六个点,则(i=1,2,8)的不同值的个数为.解析:由题意得,=+(i=1,2,8),则=(+)=|2+,因为,所以=|2=1,所以(i=1,2,8)的不同的值的个数为1.答案:112.(2017江苏徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,的坐标是.解析:因为点Q在直线OP上,所以设点Q(,2),则=(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6(-)2-.即当=时,取得最小值-.此时=(,).答案:(,)13.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若|c|=3,c.求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.解:(1)因为=(-2,-1,2),且c,所以设c=(-2,-,2),得|c|=3|=3,解得=1.即c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因为(ka+b)(ka-2b),所以(ka+b)(ka-2b)=0.即(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-.14.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求证:EFCF;(2)求与所成角的余弦值;(3)求CE的长.解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(