2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何（选修_1）第3节椭圆应用能力提升理.docx

第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程2,3,5,7,9椭圆的几何性质1,4,8,10直线与椭圆的位置关系6,11,12,13,14,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值是(D)(A)6或9 (B)5(C)1或9 (D)3或5解析:由题意,得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5,故选D.2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是(D)(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:依题意,设椭圆方程为+=1(ab0),所以解得a2=9,b2=8.故椭圆C的方程为+=1.故选D.3.方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是(D)(A)(0,+) (B)(0,2) (C)(1,+) (D)(0,1)解析:将方程x2+ky2=2变形为+=1,根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上,只需2,解得0kb0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AFBF,且ABF=,则该椭圆的离心率为(B)(A)1(B)(C)(D)解析:设椭圆的左焦点为F,根据椭圆的对称性可知:四边形AFBF为矩形,所以AB=FF=2c,在RtABF中,易得AF=2csin ,BF= 2ccos=AF,根据椭圆定义可知AF+AF=2a,即2csin+2ccos=2a,所以csin(+)=a,e=,故选B.5.如图,椭圆+=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,F1PF2=120,则a的值为(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a, |PF2|=2a-4,由余弦定理得cos 120=-,化简得8a=24,即a=3,故选B.6.椭圆ax2+by2=1(a0,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(B)(A) (B) (C) (D)解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则a+b=1,a+b=1,即a-a=-(b-b),=-1,=-1,所以(-1)=-1,所以=,故选B.7.(2018泉州质检)已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则=.解析:由椭圆方程知A(-2,0),B(0,),F(1,0),则=(2,), =(3,0),所以=6.答案:68.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,则此椭圆离心率的取值范围是.解析:设P(x,y),则=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,将y2=b2-x2代入式解得x2=,又x20,a2,所以2c2a23c2,所以e=,.答案:,能力提升(建议用时:25分钟)9.已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(B)(A)+=1 (B)+=1(C)+=1 (D)+=1解析:设椭圆的标准方程为+=1(ab0),焦距为2c,右焦点为F,连接PF,如图所示.因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF|知,FPF=90,即FPPF.在RtPFF中,由勾股定理,得|PF|=8.由椭圆定义,得|PF|+|PF|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆C的方程为+=1.故选B.10.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使得F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是(A)(A)(,1)(B)(,1)(C)(0,)(D)(0,)解析:椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心,以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc,由bc,得a2-c2c2,即a2,又0eb0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.,两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,所以=,故椭圆的离心率e=.答案:12.(2016全国卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.解:(1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y0).(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN|PQ|=12.可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8).13.设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为(a,b),又kOM=,从而=,进而得a=b,c=2b,故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为(b,-b).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1,),则线段NS的中点T的坐标为(b+,-b+).又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.14.已知点M(,)在椭圆C:+=1(ab0)上,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求PAB的面积.解:(1)由已知得解得故椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0).由消去y,整理得4x2+6mx+3m2-12=0,则x0=-m,y0=x0+m=m,即D(-m,m).因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PDAB,即PD的斜率k=-1,解得m=2.此时x1+x2=-3,x1x2=0,则|AB|=|x1-x2|=3,又点P到直线l:x-y+2=0的距离为d=,所以PAB的面积为S=|AB|d=.15.已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=6,直线y=kx与椭圆交于A,B两点.(1)若AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若k=,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值.解:(1)由题意得c=3,根