高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案理苏教版.docx

第五节 椭 圆1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆两定点F1，F2叫做椭圆的焦点集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2aF1F2时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2aF1F2时，P点的轨迹是线段；(3)当2aF1F2时，P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性 质范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2小题体验1已知椭圆1的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为_答案：122已知直线x2y20过椭圆1(ab0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为_解析：直线x2y20与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1，所以a2b2c25，故椭圆的方程为y21.答案：y213已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1.答案：11求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)2注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|a，|y|b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因小题纠偏1(2019无锡一中月考)已知椭圆1的焦距为6，则m_.解析：椭圆1的焦距为6，当焦点在x轴时，(13m)(m2)9，解得m3；当焦点在y轴时，(m2)(13m)9，解得m12.答案：3或122若方程1表示椭圆，则k的取值范围是_解析：由已知得解得3k5且k4.答案：(3,4)(4,5)题组练透1与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为_解析：由椭圆1，得a29，b24，c2a2b25，该椭圆的焦点坐标为(，0)设所求椭圆方程为1，ab0，则c，又，解得a5.b225520，所求椭圆的标准方程为1.答案：12(2018海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线yx的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程解：设点F关于yx的对称点为P(x0，y0)，又F(1,0)，所以解得又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为1(ab0)，所以解得则椭圆C的方程为1.3求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(2，0)，Q(0,2)两点；(2)与椭圆1有相同的焦点且经过点(2，)解：(1)由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a2，b2，所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，所以F1(1,0)，F2(1,0)，所以所求椭圆焦点在x轴上，设方程为1(ab0)由题意得解得a242，b232或a242，b232(舍去)，所以椭圆的标准方程为1.谨记通法求椭圆标准方程的 2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)典例引领已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2y2b2上，且点M在第一象限，过点M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值解：(1)设椭圆的左焦点为F1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(1,0)，F2(1,0)，半焦距c1，因为H在椭圆上，所以2aHF1HF2 6.所以a3，b2，故椭圆的方程是1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，所以PF2 .因为0x13，所以PF23x1.在圆x2y2b2中，M是切点，所以PM x1.所以PF2PM3x1x13.同理，QF2QM3，所以F2PF2QPQ336.因此PF2Q的周长是定值6.由题悟法利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理其中PF1PF22a两边平方是常用技巧求最值抓住PF1与PF2之和为定值，可联系到基本不等式求PF1PF2的最值；利用定义PF1PF22a转化或变形，借助三角形性质求最值即时应用1已知椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2(，0)，点P是椭圆上的点，且PF1F2的周长是42，则椭圆的标准方程为_解析：椭圆的两个焦点为F1(，0)，F2，椭圆的焦距为F1F22.PF1F2的周长是42，PF1PF2F1F242，可得PF1PF24.根据椭圆的定义，可得2aPF1PF24，a2，又c，b，可得a24，b22.故椭圆的标准方程为1.答案：12已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析：由题意知PF1PF22a，所以PFPFF1F4c2，所以(PF1PF2)22PF1PF24c2，所以2PF1PF24a24c24b2.所以PF1PF22b2，所以SPF1F2 PF1PF22b2b29.所以b3.答案：3锁定考向椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有：(1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(3)焦点三角形的研究 题点全练角度一：求离心率的值或范围1(2019连云港调研)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若F1AOB，则椭圆的离心率为_解析：由题意，可得A，B.F1AOB，1，可得a2c2ac，即e2e10，解得e(负值舍去)答案：2从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，所以，y0，把P代入椭圆方程得1，即2，所以e.答案：角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围3若方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_解析：方程1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，解得a7.实数a的取值范围是(7，)答案：(7，)4如果x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_解析：x2ky22转化为椭圆的标准方程，得1，因为x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，所以2，解得0k1.所以实数k的取值范围是(0,1)答案：(0,1)角度三：焦点三角形的研究5已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，且F1PF260.(1)求椭圆C的离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆C的短半轴长有关解：(1)设PF1m，PF2n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60(mn)23mn4a23mn4a2324a23a2a2(当且仅当mn时取等号)所以，即e.又0e1，所以e的取值范围是.(2)证明：由(1)知mnb2，所以SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面积只与短半轴长有关通法在握1应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系2求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解演练冲关1已知椭圆1的离心率为，则k的值为_解析：当94k0，即5k4时，a3，c29(4k)5k，所以，解得k.当94k，即k5时，a，c2k5，所以，解得k21，所以k的值为或21.答案：或212过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_解析：由题意，可设P.因为在RtPF1F2中，PF1，F1F22c，F1PF260，所以.又因为b2a2c2，所以c22aca20，即e22e0，解得e或e，又因为e(0,1)，所以e.答案：3(2019南京一模)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2F1F2，PF1F2，若cos ，则椭圆C的离心率为_解析：PF2F1F2，cosPF1F2，F1F22c，PF16c，PF24c，又PF1PF22a，6c4c2a，椭圆C的离心率e32.答案：32典例引领如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：xm(ma)于点M.已知点B(1,0)，直线PB交l于点N.(1)求椭圆C的方程； (2)若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值解：(1)因为椭圆C的离心率为，所以a24b2.又因为椭圆C过点，所以1，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)，且2x02, x01，则y1.因为MB是PN的垂直平分线，所以点P关于点B的对称点N(2x0，y0)，所以x02m.由A(2,0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y(x2)，令xm，得y，即M.因为PBMB，所以kPBkMB1，所以kPBkMB1，即1.因为y1.所以1.因为x02m ，所以化简得3m210m40，解得m.因为m2，所以m.由题悟法直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题即时应用(2018南通、扬州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足2.(1)若点P的坐标为(2，)，求椭圆的方程；(2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且m，直线OA，OB的斜率之积为，求实数m的值解：(1) 因为2，而P(2，)，所以A，代入椭圆方程，得1，又椭圆的离心率为，所以 .由，得a22，b21.故椭圆的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)因为2，所以P(2x1，2y1)，因为m，所以(2x1x2，2y1y2)m(x3x2，y3y2)，即于是代入椭圆方程，得1，即1，因为A，B在椭圆上，所以1，1. 因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合知0. 将代入，得1，解得m.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆的方程为_解析：椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，设椭圆方程为1(ab0)，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，且a2b2c2，解得a2，b，椭圆的方程为1.答案：12已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，因为2a12，所以a6，c3，b227.所以椭圆的方程为1.答案：13椭圆y21的左、右两焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足F1PF260，则F1PF2的面积为_解析：由题意，椭圆y21的左、右两焦点分别为F1，F2，则PF1PF22，F1F22.由余弦定理，得F1FPFPF2PF1PF2cos 60(PF1PF2)23PF1PF2，解得PF1PF2.故F1PF2的面积SPF1PF2sin 60.答案：4(2019南京名校联考)若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是_解析：由n228，得n4，当n4时，曲线为椭圆，其离心率为e；当n4时，曲线为双曲线，其离心率为e.答案：或5(2018北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.答案：16(2018启东中学检测)分别过椭圆C：1(ab0)的左右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是_解析：设两直线交点为M，令MF1m，MF2n.由椭圆的定义可得mn2a，因为MF1MF2，所以m2n24c2，因为(mn)2m2n22mn2(n2m2)，当且仅当mna时取等号，即4a22(4c2)，所以ac，所以，即e，因为e1，所以e1.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019启东模拟)设点P在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y21上移动，则PQ的最大值是_解析：已知圆心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，故只需求CQ的最大值即可设Q(x，y)，则 CQ . 1y1， 当y时，CQmax， PQmax1.答案：12(2019常州模拟)若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为_解析：不妨设椭圆C的方程为1(ab0)，则2a2b3，即a3b.所以a29b29(a2c2)即，所以e.答案：3(2018镇江期末)已知椭圆1(mn0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则_.解析：法一：()()()()|2|2n(mn)2nm.法二：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则x2y2n，(xc)(xc)y2x2y2c2n(mn)2nm.答案：2nm 4(2018苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_解析：因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，b)，A(a,0)，所以(c，b)，(a，b)因为B2FAB1，所以acb20，即c2aca20，故e2e10，解得e(负值舍去)答案：5如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OPOF，且PF4，则椭圆C的方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，右焦点为F，连结PF，如图所示因为F(2，0)为C的左焦点，所以c2.由OPOFOF知，FPF90，即FPPF.在RtPFF中，由勾股定理，得PF8.由椭圆定义，得PFPF2a4812，所以a6，a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.答案：16.(2019启东月考)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF，若MFOA，则椭圆的方程为_解析：F为椭圆的右焦点，OF，c.设椭圆方程为1(b0)，A，B是椭圆的两个顶点，A，B(0，b)又C是AB的中点，C.由OC的延长线交椭圆于点M，MFOA，得M.kOMkOC，b，故所求椭圆的方程为1.答案：17在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析：设椭圆C的方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆C上，所以ABF2的周长ABAF2BF2AF1AF2BF1BF24a16，所以a4.又离心率e，所以c2，所以b2a2c28，所以椭圆C的方程为1.答案：18(2019句容月考)离心率e，焦距为4的椭圆的标准方程为_解析：椭圆的离心率e，焦距为4，c2，a6，b232，椭圆的标准方程为1或1.答案：1或19已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率(2)若2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.10(2018南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设.(1)若点P的坐标为，且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2x轴，且椭圆C的离心率e，求实数的取值范围解：(1)因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为4a，由题意得4a8，解得a2.因为点P的坐标为，且在椭圆上，所以1，解得b23.所以椭圆C的方程为1.(2)因为PF2x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，且y00，Q(x1，y1)因为点P在椭圆上，所以1，解得y0，即P.因为F1(c,0)，所以，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q.因为点Q在椭圆上，所以2e21，即(2)2e2(1e2)2，即(243)e221.因为10，所以(3)e