高考数学总复习第二章函数第13讲函数与方程练习理新人教版.docx

第13讲函数与方程夯实基础【p29】【学习目标】1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数2利用函数的零点求解参数的取值范围【基础检测】1函数f(x)exx4的零点所在的区间为()A(1，0) B(1，2)C(0，1) D(2，3)【解析】因为yex与yx4都是单调递增函数，所以函数f(x)单调递增，f(1)e30，f(1)f(2)0，由零点存在定理可得有且仅有一个零点x0(1，2)【答案】B2下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()【解析】A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续，因此不能用二分法求零点；D中函数在x轴下方没有图象，因此不能用二分法求零点，故选C.【答案】C3函数f(x)2|x|logx的零点个数为()A0 B1 C2 D3【解析】f(x)2|x|logx的定义域为(0，)，f(x)2|x|logx2xlogx2xlog2x.又函数y2x和ylog2x在(0，)上单调递增，f(x)2xlog2x在(0，)上单调递增又f2log2 220，由零点存在性定理知函数f(x)在上有唯一零点【答案】B4设f(x)3ax2a1，若存在x0(1，1)，使f(x0)0，则实数a的取值范围是()A. B(，1)C. D.【解析】f(x)ax2a1，所以函数有且只有一个零点，若存在x0(1，1)，使f(x0)0，则f(1)f(1)0，即(3a2a1)(3a2a1)0，即(5a1)(a1)0，解得a，故实数a的取值范围是.【答案】C5已知函数f(x)若方程f(x)2有两个解，则实数a的取值范围是_【解析】当x1时，令f(x)2，解得xe，所以方程f(x)2在1，)上有一个解，则x1时，只有一个解，令f(x)2，即x24xa20在x1时，只有一个解，即函数yx24xa2在此区间内只有一个零点因为函数对称轴为x2，且图象开口朝上，所以x1时函数单调递减，所以根据函数性质，当x1时，函数值小于0，即14a20，解得a5.【答案】(，5)【知识要点】1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_f(x)0_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有_零点_(3)函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_连续不断_的一条曲线，并且有_f(a)f(b)0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一根在(m，n)之间或f(m)f(n)0典 例 剖 析【p29】考点1函数零点区间的判定和求解(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】易知函数f(x)ln(x1)在(0，)上单调递增，且f(1)ln 220.即f(1)f(2)0，fe0，f(0)e0010，fe0，f(1)e1110，由函数零点存在定理可得函数零点所在的区间为.【答案】D(3)设函数yx3与y2x1的图象的交点为，则x0所在的区间是()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】设f(x)x32x1，f1210，ff1)零点的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】函数y(x1)2loga x(其中a1)零点的个数就是y(x1)2的图象与yloga x(其中a1)图象交点个数，在同一坐标系内画出y(x1)2的图象与yloga x(其中a1)图象，如图，由图可知，y(x1)2的图象与yloga x(其中a1)图象有两个交点，所以函数y(x1)2loga x(其中a1)零点的个数是2.【答案】C(2)关于x的方程coslg|x|0的实数根个数为()A6 B8 C10 D12【解析】coslg|x|0即coslg|x|，令y1cos，y2lg|x|，如图画出y1，y2的图象，结合图象可得y1与y2有10个交点，方程coslg|x|0的实数根个数为10个【答案】C(3)已知以T4为周期的函数f(x)若方程f(x)mx恰有5个实数解，则正实数m的取值范围是_【解析】因为当x1，1时，将函数y化为方程x2y21(y0)，其图象为半圆，如图所示，同时在坐标系中作出当x(1，3的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线ymx与第二个半圆(x4)2y21(y0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有5个实数解，将ymx代入(x4)2y21得(1m2)x28x150，令6460(1m2)0，得m21，m，所以m.【答案】【点评】判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程f(x)0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；(3)将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数yh(x)与函数yg(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式来判断考点3二次函数的零点问题(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3【解析】f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，令x0，f(x)x23xf(x)，f(x)x23x，f(x)g(x)f(x)x3，g(x)令g(x)0，当x0时，x24x30，解得x1或x3，当x0时，x24x30，解得x2，函数g(x)f(x)x3的零点的集合为2，1，3【答案】D(2)已知f(x)x2kx|x21|，若f(x)在(0，2)上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是_【解析】不妨设0x1x22，f(x)f(x)在(0，1是单调函数，故f(x)0在(0，1上至多一个解；若1x1x22，则x1x20，故不符合题意；0x11x22，由f(x1)0可得k，k1，由f(x2)0可得k2x2，k1，综上，k的取值范围是.【答案】【点评】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组考点4函数零点的应用(1)已知函数f(x)exx22x，g(x)ln x2，h(x)x2，且1x3，若f(a)g(b)h(c)0，则实数a，b，c的大小关系是()Aabc BbacCacb Dcba【解析】同一坐标系内，分别作出函数yex，yx22x，yln x，y2，yx的图象，如图可得a是yex，yx22x图象交点横坐标；b是yln x，y2图象交点横坐标；c是y2，yx图象交点横坐标；即a，b，c分别是图中点A，B，C的横坐标，由图象可得，acb.【答案】C(2)已知函数f(x)若a，b，c均不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(0，9) B(2，9)C(9，11) D(2，11)【解析】先作函数f(x)图象，如图，由图可得ab1，c(9，11)，abcc(9，11)【答案】C(3)已知偶函数f(x)满足f(x)f(x2)0，且当x0，1时，f(x)xex，若在区间1，3内，函数g(x)f(x)kx2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是_【解析】由题意，函数满足f(x)f(x2)0，即f(x)f(x2)，即函数f(x)的周期为2，当x0，1时，f(x)xex，可得函数为单调递增函数，且f(0)0，f(1)e，当x1，0时，f(x)f(x)xex，由g(x)f(x)kx2k0，可得函数yf(x)与函数yk(x2)在1，3上的图象有且仅有3个交点，由图象可知当x1时，f(1)e，当x3时，f(3)f(1)e，即B(1，e)，C(3，e)，当直线yk(x2)经过点B(1，e)时，此时两个函数有2个交点，此时e3k，解得k，当直线yk(x2)经过点C(3，e)时，此时两个函数有4个交点，此时e5k，解得k，所以要使得函数g(x)f(x)kx2k有且仅有3个零点，则直线的斜率满足k，即实数k的取值范围是.【答案】方 法 总 结【p30】1利用函数yf(x)的零点来研究方程f(x)0的根的分布情况，是数形结合的体现此时，要构造合理的函数，根据函数值的情况判断其零点情况，若要知道零点个数，还需结合函数的单调性2解决一元二次方程根的分布问题，先构造二次函数，再作出符合根的分布的二次函数的图象，由图象直观可得出符合根的分布的必要条件，进而证明(或寻求)它也是其充分条件走 进 高 考【p30】1(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1，0) B0，)C1，) D1，)【解析】函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.【答案】C2(2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.【解析】(1)当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；()当a0时，h(x)ax(x2)ex.当x(0，2)时，h(x)0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增故h(2)1是h(x)在(0，)的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)没有零点；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一个零点；若h(2)，由于h(0)1，所以h(x)在(0，2)有一个零点，由(1)知，当x0时，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2，4a)有一个零点，因此h(x)在(0，)有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，a.考 点 集 训【p190】A组题1函数f(x)exx22在区间(2，1)内零点的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】令exx220，得exx22，画出yex，yx22的图象如下图所示，由图可知，图象有两个交点，故原函数有2个零点【答案】B2函数f(x)ln(x)x2的零点所在区间为()A(4，3) B(3，e)C(e，2) D(2，1)【解析】f(4)ln 40，f(3)ln 310，f(e)10，f(2)ln 20，f(1)0由零点存在性定理，f(3)f(e)0，所以零点所在区间为(3，e)【答案】B3若方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】令fx2axa，方程x2axa0的一根小于2，另一根大于2，则f42aa4a4.【答案】A4已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac【解析】在同一平面直角坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y，yx的图象，如图，观察它们与yx的交点可知abc.【答案】A5已知函数f(x)若函数f(x)a在R上有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)在(，0)上递减，在(0，2)和2，)上递增，如图，f(2)2251，作直线ya，它与f(x)的图象有三个交点，则1aln 2.【答案】1，ln 2)6函数f(x)sinlg x的零点个数为_【解析】函数f(x)sinlg x的零点个数，就是ylg x与ycos 2x图象交点个数，同一坐标系内作出ylg x与ycos 2x图象，如图由图可知lg x与ycos 2x图象有7个交点，所以函数f(x)sinlg x的零点个数为7.【答案】77已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_【解析】y函数ykx2的图象恒过点(0，2)，在同一个坐标系下画出函数y的图象与函数ykx2的图象，结合图象可知实数k的取值范围是(0，1)(1，4)【答案】(0，1)(1，4)8已知函数f(x)g(x)f(x)a.(1)若函数g(x)恰有两个不相同的零点，求实数a的值；(2)记S(a)为函数g(x)的所有零点之和，当1a2时，求S(a)的取值范围【解析】(1)由g(x)0得f(x)a，函数g(x)有两不同的零点等价于函数f(x)的图象与直线ya有两不同的交点，在同一坐标系中，作函数f(x)和直线ya的图象如图所示：由图可知，当且仅当a1时，直线ya与函数f(x)的图象有两不同的交点，即函数g(x)有两不同的零点，实数a1.(2)当1a2时，由(1)图可知，函数g(x)有四个不等的零点，从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，则x1a2，x2log2(a2)，x2时，f(x)|x5|1的图象关于直线x5对称，x3x410，S(a)log2(a2)a8，当1a2时，函数S(a)为增函数7log2(a2)a812，S(a)的取值范围是(7，12)B组题1若ab0，a1)，若x1x2，且f(x1)f(x2)，则x1x2的值()A恒小于2 B恒大于2C恒等于2 D与a相关【解析】设f(x1)f(x2)t，不妨设1x11x23，则12x21，所以loga(x11)tx1at1，loga(3x2)a1tx23at1a，于是x1x22atat1a.若0a1，则yax为减函数，且