高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十六）数学归纳法理苏教版.docx

课时跟踪检测（五十六） 数学归纳法一保高考，全练题型做到高考达标1用数学归纳法证明等式“123(n3)(nN*) ”，当n1时，等式应为_答案：12342利用数学归纳法证明“(n1)(n2) (nn)2n13(2n1)，nN*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是_解析：当nk(kN*)时，左式为(k1)(k2) (kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1)答案：2(2k1)3(2018海门实验中学检测)数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_解析：计算出a24，a39，a416.可猜想ann2.答案：ann24平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为_解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域答案：f(n)5用数学归纳法证明不等式1成立，起始值应取为n_.解析：不等式的左边2，当n8时，不等式不成立，故起始值应取n8.答案：86平面内n(nN*)个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成f(n)个区域，则f(n)_.解析：因为f(1)2，f(n)f(n1)2(n1)，则f(2)f(1)21，f(3)f(2)22，f(4)f(3)23，f(n)f(n1)2(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，即f(n)n2n2.答案：n2n27等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立解：(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以当n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，因为b，所以b，解得r1.(2)证明：当b2时，由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，故所证不等式为.用数学归纳法证明如下：当n1时，左式，右式，左式右式，所以不等式成立假设nk(k1，kN*)时不等式成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式，得，故成立，所以当nk1时，结论成立由可知，对任意的nN*，不等式成立8已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)，且点P1的坐标为 (1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解：(1)由题意得a11，b11，b2，a21，所以P2.所以直线l的方程为，即2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(k1且kN*)时，2akbk1成立则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，所以当nk1时，2ak1bk11也成立由知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上9已知数列，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1an.证明：(1)当n1时，因为a2是aa210的负根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，因为aa(aak21)(aak11)(ak2ak1)(ak2ak11)，ak1ak0，所以aa0，又因为ak2ak111(1)11，所以ak2ak10，所以ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an1an.10(2019南京模拟)把圆分成n(n3)个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法(1)写出f(3)，f(4)的值；(2)猜想f(n)(n3)，并用数学归纳法证明解：(1)当n3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第3个有2种方法，可得f(3)24；当n4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)364884.(2)证明：当n4时，首先，对于第1个扇形a1，有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以，对于a2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3，an1均有3种染法对于扇形an，用与an1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a1颜色相同的情况，而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n1)，于是可得f(n)43n1f(n1)猜想f(n)3n(1)n3(n3)当n3时，左边f(3)24，右边33(1)3324，所以等式成立假设当nk(k3)时，f(k)3k(1)k3，则当nk1时，f(k1)43kf(k)43k3k(1)k33k1(1)k13，即当nk1时，等式也成立综上，f(n)3n(1)n3(n3)二上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019无锡中学检测)将正整数排成如图所示的三角形数阵，记第n行的n个数之和为an.(1)设Sna1a3a5a2n1(nN*)，计算S2，S3，S4的值，并猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)的猜想解：(1)S1a11，S2a1a3145616，S3S2a516111213141581，S4S3a781222328256，猜想Snn4.(2)证明：当n1时，猜想成立假设当nk(kN*)时成立，即Skk4，由题意可得，ann，a2k1(2k1)(2k22k1)4k36k24k1，Sk1Ska2k1k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时猜想成立，由可知，猜想对任意nN*都成立2已知数列an满足：a11，an1anan(nN*)(1)计算a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式，并给出证明；(2)当n2时，试比较与的大小关系解：(1)a24，a37，a410，猜想：an3n2.用数学归纳法证明：当n1时，a11，结论成立假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即ak3k2，当nk1时，ak1akakk(3k2)2k(3k2)k(9k212k4)k2kk3k1，所以当nk1时，结论也成立由得数列an的