高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第48讲随机事件的概率、古典概型、几何概型练习理新人教A版.docx

第48讲随机事件的概率、古典概型、几何概型夯实基础【p103】【学习目标】1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别2掌握对事件类型的准确判断；熟练掌握概率的计算3理解古典概型及其概率计算公式4了解几何概型的意义，了解随机数的意义【基础检测】1下列说法正确的是()A甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C随机试验的频率与概率相等D天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项，概率为90%，即可能性为90%.【答案】D2甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立【答案】B3有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为()A.B.C.D.【解析】设两男两女分别为a1，a2，b1，b2，则基本事件分别是(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1), (a2，b2)，(b1，a2)，(b1，a1)，(b1，b2)，(b2，a2)，(b2，a1)，(b2，b1)，基本事件总数n12，其中第二个上车的是女生的基本事件共有m6，所以概率P.【答案】B4A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A.B.C.D.【解析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有：978，479，588，779，共4组随机数，所求概率为.【答案】D5一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为()A1B.C.D.【解析】满足条件的正三角形如图所示，其中正三角形ABC的面积SABC164，满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离都大于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴2，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离都大于2的概率为：P11.【答案】A【知识要点】1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的_必然事件_(2)在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的_不可能事件_(3)_必然事件与不可能事件_统称为确定事件(4)_在条件S下可能发生也可能不发生_的事件，叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件一般用大写字母A，B，C，表示2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_频率_fn(A)稳定在某个_常数_上，那么把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率由定义可知0P(A)1，显然_必然事件_的概率是1，_不可能事件_的概率是0.3随机数(1)随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且这个范围内任何一个数的机会是均等的(2)随机数的产生方法利用函数计算器可以得到01之间的随机数；在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数4古典概型(1)古典概型的两大特点：试验中所有可能出现的基本事件只有_有限个_；每个基本事件出现的_可能性_相等(2)古典概型的概率计算公式：P(A)(n为基本事件个数，m为事件A的结果数)5几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长度_(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型(2)几何概型的概率公式P(A)典例剖析【p103】考点1随机事件关系的判断(1)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是红球”C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”【解析】A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系【答案】D(2)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故事件间的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件【答案】D【点评】判别互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考点2随机事件的概率近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率【解析】(1)厨余垃圾投放正确的概率约为.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为0.7，所以P(A)约为10.70.3.【点评】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率考点3古典概型的求法(1)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_【解析】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2，2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为C10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以这三个砝码的总质量为9克的概率是.【答案】(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b0，1，2，9若|ab|1，则称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为_【解析】甲乙两人各有10种可能，基本事件总数为100，当甲取0或9时，乙各有两种情况，共4种，当甲取1至8任意一个数字时，乙各有3种情况，共24种，所以P.【答案】【点评】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：40，50)，50，60)，80，90)，90，100(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在40，50)的概率【解析】(1)因为(0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50，60)的有500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40，50)的有500.004102(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取2人的评分都在40，50)的结果有1种：B1，B2，故所求的概率为.有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样的方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率【解析】(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种故所求概率P.【点评】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决考点4几何概型的求法(1)在区间0，上随机地取一个数x，则事件“1tan x”发生的概率为()A.B.C.D.【解析】由题意得，0x，由1tan x得，0x或x，则事件“1tan x”发生的概率为P.【答案】A(2)某日，甲乙二人随机选择早上6：007：00的某个时刻到达七星公园早锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为()A.B.C.D.【解析】在平面直角坐标系中，x，y轴分别表示甲乙两人到达的时间，满足题意时，有yx20，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为P .【答案】B(3)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_【解析】由题意，在正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外又V正方体ABCDA1B1C1D1238，V半球13，所求事件概率P(A)1.【答案】1【点评】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解方法总结【p105】1一个随机事件发生，既有随机性(对单次试验)，又存在着统计规律(对大量重复试验)，这是偶然和必然的对立统一2随机事件A的概率P(A)满足0P(A)1.3求解古典概型中等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：(1)先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能性结果有多少，即求出n.(2)再确定所研究的事件A是什么，事件A包括结果有多少，即求出m.(3)应用等可能性事件概率公式P(A)计算4几何概型应注意：(1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解；(2)依据几何概型的特点判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择恰当合理的观察角度；(3)求与角度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化成角度，然后求解走进高考【p105】1(2017山东)从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.【解析】标有1，2，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是.【答案】C2(2018全国卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3【解析】法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S2122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3.【答案】A3(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.B.C.D.【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45种方法，因为7231119131730，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为.【答案】C考点集训【p231】A组题1下列说法正确的是()A任一事件的概率总在(0，1)内B不可能事件的概率不一定为0C必然事件的概率一定为1D以上均不对【解析】任一事件的概率总在0，1内，其中不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.【答案】C2袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是()A.B.C.D.【解析】“1”“2”“3”“4”“6”这五个数中成等差数列的数有“1，2，3”，“2，3，4”，“2，4，6”三组，从五个球中随机选取三个小球的情况有C10，故所求概率为P.【答案】A3在区间0，4上随机取两个实数x，y，使得x2y8的概率为()A.B.C.D.【解析】由题意，在区间0，4上随机取两个实数x，y，对应的区域的面积为16.在区间0，4内随机取两个实数x，y，则x2y8对应的面积为412，所以事件x2y8的概率为.【答案】D4现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为()A0.852 B0.819 2C0.8 D0.75【解析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有7527，0293，9857，0347，4373，8636，6947，4698，6233，2616，8045，3661，9597，7424，4281，共15组随机数，所以该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为P0.75.【答案】D5在边长为2的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD四边的中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在如下图所示的四个图中阴影部分区域的概率依次为P1、P2、P3、P4，则关于它们的大小比较，正确的是()AP1P2P3P4 BP4P2P3P1CP1P4P2P3 DP1P4P3P2【解析】正方形ABCD的面积为224，对于题图，阴影部分区域的面积为442，所以概率为P1；对于题图，阴影部分区域的面积为，所以概率为P2；对于题图，阴影部分区域的面积为423，所以概率为P3；对于题图，阴影部分区域的面积为222，所以概率为P4.故P1P4P30，即mn，满足题意的情况如下：当m2时，n1；当m3时，n1，2；当m4时，n1，2，3；当m5时，n1，2，3，4；当m6时，n1，2，3，4，5，共有15种，故所求事件的概率为.【答案】8一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)3个基本事件所以P(A).因此“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)3个基本事件所以P(B)1P(B)1.因此“