高考数学第六章数列3第3讲等比数列及其前n项和练习理（含解析）.docx

第3讲 等比数列及其前n项和 基础题组练1(2019湖南湘东五校联考)已知在等比数列an中，a37，前三项之和S321，则公比q的值是()A1BC1或D1或解析：选C.当q1时，an7，S321，符合题意；当q1时，得q.综上，q的值是1或，故选C.2在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A135B100C95D80解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7a840135.3等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35解析：选B.由题a5a6a4a718，所以a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)55log3910.4(一题多解)(2019湖北武汉联考)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7B5C5D7解析：选D.法一：设数列an的公比为q，则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.5一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A13B12C11D10解析：选B.设该等比数列为an，其前n项积为Tn，则由已知得a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，所以a1an3，又Tna1a2an1ananan1a2a1，所以T(a1an)n，即72923n，所以n12.6(2019黄冈模拟)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a1a62a3，a4与2a6的等差中项为，则S5_解析：设an的公比为q(q0)，因为a1a62a3，而a1a6a3a4，所以a3a42a3，所以a42.又a42a63，所以a6，所以q，a116，所以S531.答案：317设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9_解析：因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6.所以a7a8a9.答案：8(2019安徽安庆模拟)数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则的值为_解析：由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.答案：29已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解：(1)由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.10已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解：(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为2n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.综合题组练1(创新型)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13，故选B.2(应用型)(2019河南濮阳模拟)设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1，2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23，19，37，82中，则q等于()A B.C D.解析：选C.bn有连续四项在53，23，19，37，82中且bnan1.anbn1，则an有连续四项在54，24，18，36，81中因为an是等比数列，等比数列中有负数项，则q1，所以此种情况应舍)，所以q.故选C.3在递增的等比数列an中，已知a1an34，a3an264，且前n项和Sn42，则n_解析：因为an为等比数列，所以a3an2a1an64.又a1an34，所以a1，an是方程x234x640的两根，解得或又因为an是递增数列，所以由Sn42，解得q4.由ana1qn124n132，解得n3.答案：34已知数列an满足a12且对任意的m，nN*，都有an，则数列an的前n项和Sn_解析：因为an，令m1，则an，即a12，所以an是首项a12，公比q2的等比数列，Sn2n12.答案：2n125(2019高考全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列(2)求an和bn的通项公式解：(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.6(应用型)已知数列an中，a11，anan1，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解：(1)因为anan1，所以an1an2，所以，即an2an.因为bna2na2n1，所以，因为a11，a1a2，所