高考数学第三章导数及其应用4第4讲利用导数证明不等式练习理（含解析）.docx

第4讲 利用导数证明不等式1(2019河南豫南九校联考)设定义在(0，)上的函数f(x)的导函数f(x)满足xf(x)1，则()Af(2)f(1)ln 2Bf(2)f(1)1Df(2)f(1)1f(x)(ln x)，即f(x)(ln x)0.令F(x)f(x)ln x，则F(x)在(0，)上单调递增，故f(2)ln 2f(1)ln 1，即f(2)f(1)ln 2.2若0x1x2ln x2ln x1Bex2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2解析：选C.令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即x1ex2，故选C.3已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.4(2019高考全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解：(1)f(x)的定义域为(0，1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0，1)，(1，)单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又00)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0，当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)e.记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0.法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2.设函数g(x)ln xx2，则g(x)1.所以当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.设函数h(x)，则h(x).所以当x(0，1)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.6已知函数f(x)ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值；(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2ln(n1)都成立解：(1)因为f(x)2x1，又因为x0为f(x)的极值点所以f(0)10，所以a1.经检验，a1时在x0处取得极值，所以a1.(2)证明：由(1)知f(x)ln(x1)x2x.因为f(x)2x1.令f(x)0得1x0.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表x(1，0)0