高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第46讲排列与组合的应用问题练习理新人教版.docx

第46讲排列与组合的应用问题夯实基础【p99】【学习目标】1进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式2提升综合应用排列组合的知识解决一些简单应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想【基础检测】1甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是()A210 B336 C84 D343【解析】由题意知本题需要分组解决，对于7级台阶上每级只站一人共有A种站法，若有一个台阶站2人另一个站1人共有CA种站法，根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是ACA336种【答案】B2某电视台做“一校一特色”访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两间学校，B期，C期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三期任务，不同的选法共有()A140种B420种C840种D1 680种【解析】从8间候选学校中选出4间，共有C70种方法，4所选出2所，共有C6种方法，再进行全排，共有A2种方法，所以总共有7062840种方法【答案】C3故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有()A6种B8种C10种D12种【解析】根据题意，分2种情况讨论：该同学只参观一个画展，在“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”中任选1个，有C2种选法，可以在“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”中任选1个，有C2种选法，将选出的2个展览安排在五一的上、下午，有A2种情况，则只参观一个画展的方案有2228种；该同学参观两个画展，将“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”全排列，安排在五一的上、下午，有A2种情况，即参观两个画展有2种方案则不同的参观方案共有8210个【答案】C4农科院小李在做某项试验时，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有_种(用数字作答)【解析】根据题意，首先在玉米或高粱中任选一个种在第一块空地上，有C2种情况再在剩余的五种作物中任取三种，分别对应的种在其他3块空地上，则有A60种情况由分步乘法计数原理可得共有CA260120种情况【答案】1205如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(用数字作答)【解析】用2色涂格子有C230种方法，用3色涂格子有C360种方法，故总共有390种方法【答案】390【知识要点】1求解排列与组合的综合应用题，通常有三条途径：(1)以元素为分析对象，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即优元法；(2)以位置为分析对象，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即优位法这两种方法都是直接法；(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即间接法2解决排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法与位置分析法；插空法与捆绑法等3解答组合应用题的总体思路为：(1)整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时用分类计数原理(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用分步计数原理(3)辩证地看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”，效果会更好典例剖析【p99】考点1排列应用问题(1)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A60种B48种C30种D24种【解析】由题知，不同的座次有AA48种【答案】B(2)用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为_【解析】(捆绑法)首先排两个奇数1，3有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3排列之间，有C种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA8.【答案】8(3)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条B62条C71条D80条【解析】本题可用排除法，a，b，c3，2，0，1，2，3，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则a0且b0，要减去2A40，又b2或2和b3或3时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为343218，所以不同的抛物线共有120401862条【答案】B(4)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_种不同的种法(用数字作答)【解析】首先，区域1可取4种颜色中的任何一种色，有A种，区域2只能取除1以外的颜色有A种；区域4与区域2不相邻，也可取除1以外的3种颜色，有A种；区域5有两种可能：区域2，区域4取同一色，有A种；区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有A种方法；区域3也有2种可能：若区域2，区域4取同一色，有A种取法；若区域2，区域4取不同色，区域5只有一色可取，有A种方法；区域2、区域4共AA9种取法中，3种取法是同一色的，6种取法是不同色的；所以，共有着色方法A3AAA6AA72种【答案】72【点评】1解决排列问题的4种方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中除法法定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列2.解决排列类应用题的3种策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(2)分排问题直排法处理(3)“小集团”排列问题采用先集中后局部的处理方法考点2组合应用问题(1)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720【解析】根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有CCA480种情况；若甲、乙两人都参加，有CCA240种情况，其中甲、乙相邻的有CCAA120种情况则不同的发言顺序的种数为480240120600.【答案】C(2)四面体的一个顶点为A，从其他顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有()A30种B33种C36种D39种【解析】分两种情况：顶点A与各棱的中点共面的有3个侧面，每个侧面中有5个点，有C种，3个侧面有3C种；3个点不在同一个表面的有3个，共有3C333种取法【答案】B(3)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_【解析】第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264种第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208种由分类加法计数原理知，不同的取法共有264208472种【答案】472(4)将7个相同的小球放入4个不同的盒子中不出现空盒的放入方式共有多少种？可出现空盒的放入方式共有多少种？【解析】将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120种放入方式【点评】1解决组合应用题的2个步骤第一步，整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；第二步，局部分步用到分步乘法计数原理2含有附加条件的组合问题的2种方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解考点3排列组合的综合问题(1)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_种(用数字作答)【解析】甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法丙传第一棒，共有CA种方法由分类计数原理得，共有AACA96(种)方法【答案】96(2)如图，用四种不同颜色给图中A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A288种B264种C240种D168种【解析】分两类：第一类：涂三种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂B，C，F有2种方法，共有A248种方法；第二类：涂四种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂点B，C，F有3C种方法，共有A3C216种方法由分类加法计数原理，共有48216264种不同涂法【答案】B【点评】综合应用排列与组合知识求解的问题的策略通常是“先选后排”和“边选边排”两种方法考点4分组分配问题按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本【解析】(1)无序不均匀分组问题先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种选法，故分配方式有CCC60种(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，分配方式有CCCA360种(3)无序均匀分组问题先分三步，则应有CCC种方法，但是这里出现了重复不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则CCC种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有15种(4)有序均匀分组问题在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式ACCC90种(5)无序部分均匀分组问题共有15种(6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式A90种(7)直接分配问题甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法，共有CCC30种【点评】这是一个分组问题，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数方法总结【p100】排列组合问题的常见解法主要有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直接处理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；(10)构造模型的策略走进高考【p100】1(2016全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有6种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有6A36种方法【答案】D2(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法【答案】6603(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCACCCA7205401 260.【答案】1 260考点集训【p229】A组题1将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A10种B9种C12种D8种【解析】依题意，满足题意的不同安排方案共有CC12种【答案】C2已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有()A19种 B26种 C7种 D12种【解析】由题意，支付方法数有A2(2223)26种【答案】B3某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120【解析】AAAAA504.【答案】A4如图所示的五个区域中，中心区域E是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A56 B72 C64 D84【解析】分两种情况：A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，只要B、D不与A、C同色，所以B、D可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有432248种；A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，只要B、D不与A、C同色，所以B、D可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有431336种所以，所求的涂色方法种数共有84种【答案】D5在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_(结果用数值表示)【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：CC1266120.【答案】1206一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_种不同的站队方法【解析】五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，分两种情况，若C学校的老师夹在A学校的两位老师中间，先安排A学校和C学校的三位老师，有A种排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有A12种排法，由分步乘法原理得不同的排列方法有AA24种，若C学校的老师不在A学校的两位老师中间，在A学校的老师中间安排一位B学校的老师，有AC4种，再与剩下的两位老师全排列A6种不同的排列方法有ACA24种，由分类加法计数原理可知共有242448种【答案】487四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是_【解析】问题等价于编号为1，2，3，10的10个小球排列，其中2，3号， 4，5，6号， 7，8，9，10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是12 600.【答案】12 6008某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为_(填写数字)【解析】设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)只有1人参加“围棋苑”：从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有CA种方法，这时共有CCA种参加方法；(2)有2人参加“围棋苑”：从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参加方法综合(1)(2)，共有CCACA180种参加方法【答案】180B组题1某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168【解析】分两步进行：先将3个歌舞进行全排，其排法有A种；将小品与相声插入将歌舞分开：若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A种若两歌舞之间有两个其他节目时插法有CAA种所以由计数原理可得节目的排法共有A(2ACAA)120(种)【答案】B2有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48 C72 D96【解析】据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即