数值分析试题及答案.pdf

一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1. 3.142 和 3.141 分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4 和 3 B3 和 2 C3 和 4 D4 和 4 2. 已知求积公式 2 1 121 1( )(2) 636 f x dxfAff ，则A（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 3. 通过点 0011 ,xyx y 的拉格朗日插值基函数 01 ,lxlx 满足（ ） A 00 lx 0， 11 0lx B 00 lx 0， 11 1lx C 00 lx 1， 11 1lx D 00 lx 1， 11 1lx 4. 设求方程 0f x 的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 123 123 12 20 2233 32 xxx xxx xx 作第一次消元后得到的第 3 个方程（ ）. A 23 2xx B 23 21.53.5xx C 23 23xx D 23 0.51.5xx 单项选择题答案单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷 人 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1. 设 T X)4, 3 , 2( , 则 1 | X ， 2 |X . 2. 一阶均差 01 ,f x x 3. 已知 3n 时，科茨系数 333 012 13 , 88 CCC ，那么 3 3 C 4. 因为方程 420 x f xx 在区间 1,2 上满足 ，所以 0f x 在区间 内有根。 5. 取步长 0.1h ，用欧拉法解初值问题 2 11 y yy x y 的计算公式 . 填空题答案填空题答案 1. 9 和 29 2. 01 01 f xf x xx 3. 1 8 4. 120ff 5. 1 2 0 0.1 1.1 ,0,1,2 10.1 1 kk yy k k y L 得 分 评卷 人 三、计算题（每题三、计算题（每题 15 分，共分，共 60 分）分） 1. 已知函数 2 1 1 y x 的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 1.5f 的近似值. 计算计算题题 1.答案答案 1. 解 0,1x ， 10 10.51 0.5 0 11 0 xx L xx % 1,2x ， 21 0.50.20.30.8 1 22 1 xx L xx % 所以分段线性插值函数为 1 0.50,1 0.80.31,2 xx L x xx % 1.50.80.3 1.50.35L % 2. 已知线性方程组 123 123 123 1027.2 1028.3 54.2 xxx xxx xxx （1） 写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式； （2） 对于初始值 0 0,0,0X ，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公 式分别计算 1 X （保留小数点后五位数字）. 计算题计算题 2.答案答案 1.解 原方程组同解变形为 123 213 312 0.10.20.72 0.10.20.83 0.20.20.84 xxx xxx xxx 雅可比迭代公式为 1 123 1 213 1 312 0.10.20.72 0.10.20.83 0.20.20.84 mmm mmm mmm xxx xxx xxx (0,1.)m 高斯塞德尔迭代法公式 1 123 11 213 111 312 0.10.20.72 0.10.20.83 0.20.20.84 mmm mmm mmm xxx xxx xxx ( 0,1.)m 用雅可比迭代公式得 1 0.720 00,0.830 00,0.840 00X 用高斯塞德尔迭代公式得 1 0.720 00,0.902 00,1.164 40X 3. 用牛顿法求方程 3 310xx 在 1,2 之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取 2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到 0.0001. 计算题计算题 3.答案答案 3. 解 3 31f xxx ， 130f ， 210f 2 33fxx ， 12fxx ， 2240f ，故取 2x 作初始值 迭代公式为 3 1 11 11 2 11 31 33 n nn nnn nn f xxx xxx fxx 3 1 2 1 21 () 31 n n x x 或 ， 1,2,.n 0 2x ， 3 1 2 2 31 1.88889 321 x ， 3 2 2 2 1.888891 1.87945 31.888891 x 21 0.009440.0001xx 3 3 2 2 1.879451 1.87939 31.879451 x ， 32 0.000060.0001xx 方程的根 1.87939x 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分 1 0 1 1 dx x . 计算题计算题 4.答案答案 4 解 梯形公式 2 b a ba f x dxf af b 应用梯形公式得 1 0 1111 0.75 12 1 01 1 dx x 辛卜生公式为 4 () 62 b a baab f x dxf aff b 应用辛卜生公式得 1 0 11 01 0 04 ()1 162 dxfff x 1111 4 1 6 101 1 1 2 25 36 得 分 评卷 人 四、证明题（本题四、证明题（本题 10 分）分） 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有 3 次代数精确度 101 0 h h f x dxA fhA fA f h 证明题答案证明题答案 证明： 求积公式中含有三个待定系数， 即 101 ,AA A ， 将 2 1, ,f xx x 分别代入求积公式， 并令其左右相等，得 101 11 23 11 2 ()0 2 () 3 AAAh h AA hAAh 得 11 1 3 AAh ， 0 4 3 h A 。所求公式至少有两次代数精确度。 又由于 3 33 4 44 33 33 h h h h hh x dxhh hh x dxhh 故 4 0 333 h h hh f x dxfhff h 具有三次代数精确度。 一、一、 填空（共填空（共 20 分，每题分，每题 2 分）分） 1. 设 2.3149541.x ，取 5 位有效数字，则所得的近似值 x= . 2.设一阶差商 21 12 21 14 ,3 21 f xf x f x x xx ， 32 23 32 615 , 422 f xf x f x x xx 则二阶差商 123 ,_f x x x 3. 设 (2, 3, 1)TX , 则 2 |X ， | X 。 4求方程 2 1.250xx 的近似根，用迭代公式 1.25xx ，取初始值 0 1x ， 那么 1 _x 。 5解初始值问题 00 ( , ) () yf x y y xy 近似解的梯形公式是 1 _ k y 。 6、 11 51 A ，则 A 的谱半径 。 7、设 2 ( )35, , 0,1,2,. , k f xxxkh k ，则 12 , nnn f x xx 和 123 , nnnn f x xxx 。 8、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵 A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯- 塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。 10、 为了使计算 23 123 10 1(1)(1) y xxx 的乘除法运算次数尽量的少,应将表达 式改写成 。 填空填空题答案题答案 1、2.3150 2、 2312 123 31 5 3 ,11 2 , 4 16 f x xf x x f x x x xx 3、6 和 14 4、1.5 5、 11 , 2 kkkkk h yf xyf xy 6、 ( )6A 7、 12123 ,3,0 nnnnnnn f x xxf x xxx 8、 收敛 9、 h 10、 113 1012 1(1)(1) y xxx 二、计算题二、计算题 （共（共 75 分，每题分，每题 15 分）分） 1设 3 2 012 19 ( ), , 1, 44 f xxxxx （1）试求 f x 在 1 9 , 4 4 上的三次 Hermite 插值多项式 x 使满足 11 ()(), 0,1,2,. ( )( ) jj H xf xjH xfx x 以升幂形式给出。 （2）写出余项 ( )( )( )R xf xH x 的表达式 计算计算题题 1.答案答案 1、（1） 32 142632331 22545045025 xxxx （2） 5 2 2 1 9191 9 ()(1) (),( )( , ) 4!16444 4 R xxxxx 2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的 简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 计算计算题题 2.答案答案 2、由 ( )xx ，可得 3( )3xxxx ， 1 ( ( )3 )( ) 2 xxxx 1 ( )( )3) 2 xx 因，故 11 ( )1 22 xx （ ）-3 1 1 ()()3 , k=0,1, 2 kkkk xxxx 故收敛。 3 试确定常数 A，B，C 和 a，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型 的？ 计算题计算题 3.答案答案 3、 101612 , 995 ACBa ，该数值 求积公式具有 5 次代数精确度，它是 Gauss 型的 4 推导常微分方程的初值问题 00 ( , ) () yf x y y xy 的数值解公式： 1111 (4) 3 nnnnn h yyyyy （提示： 利用 Simpson 求积公式。） 计算题计算题 4.答案答案 4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 ( )yf x 在区间 11 , nn xx 上积分， 得 1 1 11 ()()( , ( ) n n x nn x y xy xf x y x dx ，记步长为 h, 对积分 1 1 ( , ( ) n n x x f x y x dx 用 Simpson 求积公式得 1 1 1111 2 ( , ( )()4 ()()(4) 63 n n x nnnnnn x hh f x y x dxf xf xf xyyy 所以得数值解公式： 1111 (4) 3 nnnnn h yyyyy 5 利用矩阵的 LU 分解法解方程 组 123 123 123 2314 25218 3520 xxx xxx xxx 计算题计算题 5.答案答案 5、解： 1123 2114 35124 ALU (14, 10, 72) , (1,2,3) . TT LybyUxyx令得得 三、证明题三、证明题 （5 分）分） 1设 ，证明解 的 Newton 迭代公式是线性收敛的。 证证明明题答案题答案 1、 3223 1 32 1 232 3 2 3333 ( )() , ( )6(),: () ,0,1,. () ()5 ,0,1,. 6()66 55 ( ), ( ), 6663 551 , ()() 636 n nn n nn nn nnn f xxafxxxaNewton f x xxn fx xaxa xxn xxax aa xxxx x a xaaa 证明：因故由迭达公式 得 因迭达函数而 又则 1 0, 32 故此迭达公式是线性收敛的。 一、填空题（一、填空题（20 分）分） (1).设 * 2.40315x 是真值 2.40194x 的近似值， 则 * x 有 位有 效数字。 (2). 对 1)( 3 xxxf , 差商 3 , 2 , 1 , 0f ( )。 (3). 设 (2, 3,7)TX , 则| |X 。 (4).牛顿柯特斯求积公式的系数和 ( ) 0 n n k k C 。 填空填空题答案题答案 （1）3 （2）1 （3）7 （4）1 二、二、计算题计算题 1).（15 分）用二次拉格朗日插值多项式 2( ) sin0.34L x 计算 的值。 插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40， 0.3894）。 计算计算题题 1.答案答案 1） 020112 2012 010210122021 ()()()()()() ( ) ()()()()()() =0.333336 xxxxxxxxxxxx L xfff xxxxxxxxxxxx 2).（15 分）用二分法求方程 3 ( )101.0,1.5f xxx 在 区间内的一个 根，误差限 2 10 。 计算计算题题 2.答案答案 2) 123 456 6 1.251.3751.3125 1.343751.3281251.3203125 N xxx xxx 3).（15 分）用高斯-塞德尔方法解方程组 2252 1824 1124 321 321 321 xxx xxx xxx ，取 T )0 , 0 , 0( )0( x ，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。 计算题计算题 3.答案答案 3）迭代公式 )222( 5 1 )218( 4 1 )211( 4 1 )1( 2 )1( 1 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 3 )( 2 )1( 1 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 4).（15 分）求系数 123 ,A AA和使求积公式 1 123 1 11 ( )( 1)()( )2 33 f x dxA fA fA f 对于次数的一切多项式都精确成立。 计算题计算题 4.答案答案 4） 123123123 123 11112 20 33993 13 0 22 AAAAAAAAA AAA 5). (10 分)对方程组 84102 5410 151023 321 321 321 xxx xxx xxx 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由 计算题计算题 5.答案答案 5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 123 123 123 1045 21048 321015 xxx xxx xxx 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 (1)( )( ) 123 (1)(1)( ) 213 (1)(1)(1) 312 1 ( 4 5) 10 1 ( 2 48) 10 1 ( 32 15) 10 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 T )0 , 0 , 0( )0( x ,经 7 步迭代可得： T )010000. 1,326950999. 0,459991999. 0( )7(* xx . 三、简答题三、简答题 1)（5 分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为 什么? 2)（5 分）先叙述 Gauss 求积公式, 再阐述为什么要引入它。 一、填空题（一、填空题（20 分）分） 1. 若 a=2.42315 是 2.42247 的近似值，则 a 有( )位有效数字. 2. )(,),(),( 10 xlxlxl n 是以 n, 1 , 0 为插值节点的 Lagrange 插值基函数，则 n i i xil 0 )( ( ). 3. 设 f (x)可微，则求方程 )(xfx 的牛顿迭代格式是( ). 4. 迭代公式 fBXX kk )()1( 收敛的充要条件是 。 5. 解线性方程组 Ax=b (其中 A 非奇异， b 不为 0) 的迭代格式 fxx )()1(kk B 中的 B 称为( ). 给定方程组 45 89 21 21 xx xx ，解此方程组的雅可比迭代 格式为( )。 填空填空题答案题答案 13 2.x 3. 1 () 1() nn nn n xf x xx fx 4. ( )1B 5.迭代矩阵， 1( ) 12 1( ) 21 1 (8) 9 1 (4) 5 kk kk xx xx 得 分 评卷 人 二、判断题（共二、判断题（共 10 分）分） 1. 若 0)()(bfaf ，则 0)(xf 在 ),(ba 内一定有根。 ( ) 2. 区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项 式。 ( ) 3. 若方阵 A 的谱半径 1)(A ，则解方程组 Ax=b 的 Jacobi 迭代法收 敛。 ( ) 4. 若 f (x)与 g (x) 都是 n 次多项式，且在 n+1 个互异点 n ii x 0 上 )()( ii xgxf ，则 )()(xgxf 。 ( ) 5. 用 2 2 1 1xx 近似表示 x e 产生舍入误差。 ( ) 判断判断题答案题答案 1. 2. 3. 4. 5. 得 分 评卷 人 三、计算题（三、计算题（70 分）分） 1. （10 分）已知 f (0)1，f (3)2.4，f (4)5.2，求过这三点的 二次插值基函数 l1(x)=( )， 4 , 3 , 0f =( ), 插值多项式 P2(x)=( ), 用三点式求得 )4(f ( ). 计算计算题题 1.答案答案 1 1777203 (4),1(3), 31215126 x xxx x 由插值公式可求得它们分别为： 和 2. （15 分） 已知一元方程 02 . 13 3 xx 。 1）求方程的一个含正根的区间； 2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； 3）给出在有根区间的 Newton 迭代法公式。 计算题计算题 2.答案答案 2.（1） (0)1.20 , (2)1.80 ( )(0,2)fff x 又连续故在内有一个正根, （2） 收敛 3 1 3 2 )2, 0( 3 2 3 2 . 13, 1 2 . 1 1 )(max,)2 . 13()(,2 . 13 nn x xxxxxxx （3） 3 2 1 2 31.2 ( )33, 33 n nn n xx fxxxx x 3. （15 分） 确定求积公式 )5 . 0()()5 . 0()( 1 1 1 CfxBfAfdxxf 的待定参数， 使其代数精度尽量高，并确定其代数精度. 计算题计算题 3.答案答案 23 1 2 1 3 1 1 4 1 ( )1, , 2 0.50.50 2 0.250.25 3 0.1250.1250 42 , 33 1 ( )4 ( 0.5)2 (0)4 (0.5),( ), 3 21 56 f xx xx ABC ABxC ABxC ABxC ACB f x dxffff xx 3.假设公式对精确成立则有 解此方程组得 求积公式为 当时 左边 右边 左3边右边 代数精度为 。 4. （15 分）设初值问题 10 1)0( 23 x y yxy . (1) 写出用 Euler 方法、步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进的 Euler 法（梯形法）、步长 h=0.2 解上述初值问题数值解 的公式，并求解 21, y y ，保留两位小数。 计算题计算题 4.答案答案 4. 1 (1) 0.1(32)0.31.2 nnnnnn yyxyxy 11 1 1 12 0.2 0.2 (2) (32)3(0.2)2 2 =0.1(6220.6) 333 2440 333 6333 1.575,2.585 2402 40440 nnnnnn nnnn nnn yyxyxy yxyy yyx yy 迭达得 5. （15 分）取节点 1, 5 . 0, 0 210 xxx ，求函数 x ey 在区间 1 , 0 上的二次插 值多项式 )( 2 xP ，并估计误差。 计算题计算题 5.答案答案 5 )5 . 0)(0( 01 05 . 0 1 5 . 01 )0( 05 . 0 1 )( 5 . 05 . 01 5 . 0 0 2 xx eee x e exp =1+2( )5 . 0() 12(2) 1 5 . 015 . 0 xxeexe ) 1)(5 . 0( ! 3 )( )(, 1max, 2 1 , 0 3 xxx f xpeyMey x x x 时10x ， ) 1)(5 . 0( ! 3 1 )( 2 xxxxpex 一、填空题一、填空题( 每题每题 4 分，共分，共 20 分分) 1、数值计算中主要研究的误差有 和 。 2、设 ( )(0,1,2) j l xjn 是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ( ) ji lx ( , 0,1,2)i jn ； 0 ( ) n j j lx 。 3、设 ( )(0,1,2) j l xjn 是区间 , a b 上的一组 n 次插值基函数。则插值型求积公 式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 j A ；且 0 n j j A 。 4、辛普生求积公式具有 次代数精度，其余项表达式 为 。 5、 2 ( )1,f xx 则 1,2,3_,1,2,3,4_ff 。 填空填空题答案题答案 1.相对误差 绝对误差 2. 1, 0, ij ij 1 3. 至少是 n ( ) b k a lx dx b-a 4. 3 4(4) ()( ),( , ) 1802 ba ba fa b 5. 1 0 二、二、计算题计算题 1、已知函数 ( )yf x 的相关数据 由牛顿插值公式求三次插值多项式 3( ) P x ，并计算 1 3( ) 2 P 的近似值。 计算计算题题 1.答案答案 解：差商表 由牛顿插值公式： 32