（江苏专用）高考数学一轮复习考点29等比数列及其前n项和必刷题（含解析）.docx

考点29 等比数列及其前n项和1（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知数列是等比数列，有下列四个命题：数列是等比数列； 数列是等比数列； 数列是等比数列； 数列是等比数列 其中正确的命题有_个【答案】【解析】数列是等比数列，所以，对于，所以，数列是等比数列，正确；对于，所以，数列是等比数列； 对于，所以，数列是等比数列；对于，不是常数，所以，错误共有3个命题正确.故答案为:3.2（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题高三数学）已知等比数列的前n项和为，若，则_【答案】1【解析】由题意可得，公比q1，7，63，相除可得 1+q39，q2，a11故答案为：1.3（江苏省苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研）设是等比数列的前n项和，若，则_.【答案】【解析】设是等比数列的前n项和，所以，因为，所以，整理得，即的，所以.4（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）正项等比数列中，为其前项和，已知，则_【答案】【解析】由正项等比数列中，所以，又因为，所以，所以5（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_.【答案】【解析】由题得所以数列的前10项和为.故答案为：6（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知等比数列的前n项和为，且，则的值为_【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，即，得，解得，故答案为.7（江苏省南通市2018届高三最后一卷 - 备用题）已知数列的首项，且，则数列的前项的和为_【答案】.【解析】由，得，为等比数列，故答案为.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.8（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）已知数列的首项， .若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】 ， ，数列为等比数列，公比为，首项为a， 即，不等式等式恒成立可化为：，即：当n为奇数时， 即对且恒成立. ，解得：.当n为偶数时， 即对且恒成立. ，解得：.综上所述：.故答案为：.9（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）若数列的前项和满足 ，则的值为_.【答案】-81【解析】 ，当时，当时，即， 是以首项为-3，公比为3的等比数列. . .故答案为：-81.10（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）已知数列的各项均不为零设数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn， 且（1）求的值； （2）证明：数列是等比数列；（3）若对任意的恒成立，求实数的所有值【答案】（1），；（2）数列是以1为首项，为公比的等比数列；（3）0【解析】（1）因为，令，得，因为，所以令，得，即，因为，所以（2）因为， 所以， 得，因为，所以， 所以， 当时，得，即，因为，所以又由（1）知，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列 （3）由（2）知，因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间因为对任意的恒成立，所以适合 若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符 若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符综上，实数的所有值为011（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，成等差数列，求的值；（2）求证：数列为等比数列；若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【答案】（1）或；（2）详见解析；.【解析】（1）因为，所以，因此，成等比数列.设公比为，因为，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，由（1）知，所以，因此数列为等比数列.当时，由时，可得，所以，因此 ，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.12（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）设集合是集合，的子集记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”求：（1）集合的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4（2）【解析】（1）集合的子集有：，其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，所以的“和谐子集”的个数等于4 （2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数倍余2的子集由（1）知，集合的“和谐子集”有以下四类（考查新增元素）：第一类 集合，的“和谐子集”，共个；第二类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；同时含三个元素的“和谐子集”，共个；第三类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含两个元素的“和谐子集”，共个；第四类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，所以集合的“和谐子集”共有个 同理得， 所以，所以数列是以2为首项，公比为2 的等比数列所以同理得又，所以13（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知等差数列满足，前8项和（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足 证明：为等比数列； 求集合【答案】（1）（2）见解析， 【解析】（1）设等差数列的公差为d因为等差数列满足，前8项和，所以，解得所以数列的通项公式为 （2）设数列前项的和为由（1）及 得由-得3-=-所以 ，又，所以，满足上式所以 当时，由-得， ，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列由，得，即记，由得，所以，所以（当且仅当时等号成立）由，得，所以 设 ，由，得当时，不合题意；当时，此时符合题意；当时，不合题意；当时，不合题意下面证明当时，不妨设 ，所以在上单调增函数，所以，所以当时，不合题意综上，所求集合 14（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题）记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若，求【答案】（1）；（2）见解析；（3），【解析】（1）数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， （2）若数列是等差数列，设其公差为 根据，的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有一个取等号， 若，则必有，即对，都有， ，即为等差数列；当时，则必有，所以，即对，都有， 所以，即为等差数列；当， ，中必有一个为0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，即，为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列 （3），当时，即，当时，即以下证明：，当时，若，则，所以，不合题意；若，则，则，得：，与矛盾，不合题意；，即；同理可证：，即，时，当时， ， 当时，且，则为或若为，则为常数，与题意不符， ，.15（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1(k)2bn(k)对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k2，t3【解析】（1）因为，所以，所以. （2）（i）因为bn1(k)2bn(k)，得 ， 令k1, ，k2， 由得，+得， +得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 （ii）由（i）可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k，所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k21(*)由于SkS10，所以k1，即k2当k2时，2t8，得t3 当k3时，由(*)，得(2k1)232k21为奇数，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2，t316（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）证明数列为等差数列.（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明【解析】（1）因为数列的前项的和，所以当时，； 当且时， 当时，上式也成立，所以数列的通项公式为. （2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，所以，即， 所以，两式相除得，对任意正整数都有，即，当为奇数时，所以，当为偶数时，而，所以，所以. 所以，所以数列为等差数列. (3)因为，所以，因此存在正整数，使得成等比数列， 因为都是正整数，则，即时，对应的.所以存在或或使得成等比数列.17（江苏省南通市2018年高考数学模拟）设数列的前n项和为，已知，（）（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：， 求数列的通项公式； 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2（2），【解析】（1）解：由，得（），两式相减，得，即（） 因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2 （2） 由（1）知，由，得， 即，即， 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列 所以，所以 设，则，所以，两式相减，得 ，所以 由，得，即显然当时，上式成立，设（），即因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立18（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）设数列的前项和，对任意，都有（为常数）（1）当时，求；（2）当时，（）求证：数列是等差数列；（）若对任意，必存在使得，已知，且，求数列的通项公式【答案】(1) .(2) （）证明见解析；（）.【解析】（1）当，时，当时，所以当时，得：因为，所以，所以，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，所以（2）（）当，时，当时，得：，所以得：因为，所以 即，所以是等差数列（）因为，所以因为，所以，所以因为，所以又因为，所以，所以或当时，所以 不符合题意当时，所以满足题意所以19（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列an和等比数列bn均不是常数列，若a1b11，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列（1）求an和bn的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（ijk），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求mn的最小值；（3）令cn，记cn的前n项和为Tn， 的前n项和为An若数列pn满足p1c1，且对n2, nN*，都有pnAncn，设pn的前n项和为Sn，求证：Sn44lnn【答案】（1）（2） 或 （3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d0），等比数列在公比为q（q1），由题意得：解得d1，q2， 所以.（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，即 ， 由于，且为正整数，所以，所以， 可得 ， 即，当1m2时，不等式不成立；当 或 时 成立； 当时，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且 或 时取得 （3）由题意得： （1） （2）（1）（2）得 ， 求得 ，所以 ，设，则，所以 在上单调递增，有，可得 . 当，且N*时，有 ， 所以，可得，所以.20（江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试数学试题）已知等差数列和等比数列均不是常数列，若，且成等比数列，成等差数列（1）求的通项公式；（2）设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值；（3）令，记的前项和为的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为（），等比数列的公比为，由题意得解得，所以.（2）由成等差数列，有，即由于，且为正整数，所以，所以，可得，即， 当时，不等式不成立；当时，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当且或时取得.（3）由题意得 （1） （2）（1）-（2）得 ，求得，所以 设，则，所以在上单调递增，有，可得当，且时，有，所以可得，所以 .21（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列