概率练习册答案.pdf

班级 学号 姓名 （十七）随机事件及概率 1、投掷一粒骰子的试验，我们将出现偶数点称为（ D ） A、样本空间 B、必然事件 C、不可能事件 D、随 机事件 2、事件互为对立事件等价于（ D ） A、互不相容 B、相互独立 C、 D、 3、设为两个事件，则（ C ） A、不可能事件 B、必然事件 C、 D、 4、为两事件，若，则（ B ） A、 B、 C、 D、 因为： 5、当与互不相容时，（ C ） A、 B、 C、0 D、 因为： 6、设有10个产品，其中3个次品，7个正品，现从中任取4个产品，则取 到的4个产品都是正品的概率为（ C ） A、 B、 C、 D、 7、设为三个事件，试用这三个事件表示下列事件： （1）三个事件至少有一个发生；（2）不发生，与均发生； （3）三个事件至少有2个发生；（4）三个事件中恰有一个发生； （5）发生，与都不发生。 解：（1）A+B+C；（2）；（3）AB+AC+BC；（4）；（5）。 8、随机抽检三件产品，设表示“三件中至少有一件是废品”；表 示“三件中至少有两件是废品”；表示“三件都是废品”。问、 、各表示什么事件？ 解：表示“三件都是正品”； 表示“三件中至少有两件是正品”； 表示“三件中至少有一件是正品”； A表示“三件中至少有一件是废品”； C表示“三件都是废品”。 9、从52张扑克牌中任意取出13张来，问有5张黑桃、3张红心、2张方 块、3张草花的概率是多少？ 解：设A = “5张黑桃、3张红心、2张方块、3张草花”事件。则 P(A) = 10、已知某射手射击一次中靶6环、7环、8环、9环、10环的概率分别为 0.19、0.18、0.17、0.16、0.15，该射手射击一次，求 （1）至少中8环的概率； （2）至多中8环的概率。 解：用A、B、C、D、E分别表示射手射击一次中靶6环、7环、8环、9 环、10环事件，则A、B、C、D、E互不相容。 （1）至少中8环的概率为：P（CDE）P(C)P(D)P(E) 0.48； （2）至多中8环的概率为：1P(D+E)1（P(D)+P(E)）0.69。 11、现有10个人分别佩戴从1号到10号的纪念章，从中任选3个人，记录 其纪念章的号码。求（1）求最小号码是5的概率；（2）求最大号码是5 的概率；（3）求中间号码是5的概率；（4）求正好有一个号码是5的概 率；（5）求没有一个号码是5的概率。 解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 班级 学号 姓名 （十八）条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 1、设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（ A ） A、 B、 C、 D、 2、随机事件满足，求。 解： 3、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为 4/15，刮风（记作事件）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10， 求。 解：已知：，从而有： 4、10个考签中有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一 次，甲先、乙次、丙最后，证明3人抽到难签的概率相等。 解：用A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则有：， ， 5、已知，求（1）；（2）；（3）。 解：（1）， ， ； （2）， ， 。 （3）， 6、为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统与，每种系统单独使 用时，其有效率分别为0.92和0.93，在失灵的条件下，有效的概率为 0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）失灵的条件下，有效的概率。 解：用A、B分别表示事件“报警系统A、B有效”，则有： ， （1） （2） 7、在秋菜运输中，某汽车可能到甲、乙、丙三地去拉菜。设到此三处 拉菜的概率分别为0.2，0.5，0.3，而在各处拉到一级菜的概率分别为 0.1，0.3，0.7。求 （1）求汽车拉到一级菜的概率； （2）已知汽车拉到一级菜，求该车菜是乙地拉来的概率。 解：用A、B、C分别表示汽车到甲、乙、丙地去拉菜的事件，用D表 示一级菜，则有：P(A)=0.2，P(B)=0.5，P(C)=0.3，P(D/A)=0.1， P(D/B)=0.3，P(D/C)=0.7。 （1）利用全概率公式：P(D)=P(AD+BD+CD)=P(AD)+P(BD)+P(CD) =P(A)P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C) 0.20.10.50.30.30.70.38 （2）利用贝叶斯公式 （十九）事件独立性 1、设，则下列结论正确的是（ C ） A、事件互不相容 B、 C、事件相互独立 D、 2、已知 （1） 当互不相容时， 0.7 ， 0 。 （2） 当相互独立时， 0.58 ， 0.12 。 （3） 当时， 0.4 ， 0.3 。 3、棉花方格育苗，每格放两粒棉籽，棉籽的发芽率为0.90，求（1）两 粒同时发芽的概率；（2）恰有一粒发芽的概率；（3）两粒都不发芽的 概率。 解：用A、B分别表示第一粒、第二粒棉籽发芽事件，则A与B相互独 立，且P(A)=0.90P(B)，从而有： （1）P(AB)=P(A)P(B)=0.90.90.81； （2） （3） 4、甲、乙两人向同一个目标射击，击中目标的概率分别为0.7、0.8。两 人同时射击，并假定击中与否是独立的。求（1）两人都中靶的概率。 （2）甲中乙不中的概率。（3）甲不中乙中的概率。（4）目标被击中 的概率。 解：用A、B分别表示甲、乙射击击中目标事件，则A、B相互独立，且 P(A)=0.7，P(B)=0.8，从而有： （1）P(AB)=P(A)P(B)=0.56； （2） （3） （4）P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.70.80.70.80.94 5、一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率： 第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在一小时内，求（1）三 台机床都不需要工人看管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工 人看管的概率。 解：用A、B、C分别表示第一、第二、第三台机床不需要工人照管的事 件，则 A、B、C相互独立，且P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.7。从而有： (1) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.90.80.70.504； 。 6、三个人独立地破译一个密码，他们译出的概率分别为0.6，0.7， 0.8，问此密码能译出的概率为多少？ 解：用A、B、C分别表示三人单独破译密码事件，则A、B、C相互独 立，且 P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(C)=0.8，从而有： 或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.60.70.80.60.70.60.80.70.80.60.70.8 =0.976 (二十)习题课（自测题） 一、选择题：（每小题3分，共15分） 1、设表示三事件，则表示（ B ） A、中有一个发生 B、都不发生 C、中不多于一个发生 D、中恰有两个发生 2、设事件互不相容，则（ C ） A、 B、 C、 D、 3、为两事件，若，则（ B ） A、 B、 C、 D、 4、当与互不相容时，（ C ） A、 B、 C、 D、 5、甲、乙、丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别 为0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为（ A ） A、0.94 B、0.92 C、0.95 D、 0.90 二、填空题：（每小题3分，共15分） 1、“三个事件中至多发生两个”此事件可表示为 2、事件互不相容，且，则 0.3 。 3、已知事件相互独立，且，则 4、将从小到大用不等号联系为 5、为两事件，如果，且，则与 相互独立 三、判断题：（每小题2分，共20分） 1、与互不相容。 （ ） 2、与对立。 （ ） 3、若，则。 （ ） 4、。 （ ） 5、若，则。 （ ） 6、。 （ ） 7、。 （ ） 8、。 （ ） 9、若，则。 （ ） 10、若，则。 （ ） 四、计算题：（共50分） 1、一个口袋中有5个红球及2个白球。从这袋中任取一球，看过它的颜 色后就放回袋中，然后，再从这袋中任取一球。求： （1）第一次、第二次都取到红球的概率；（3分） （2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；（3分） （3）两次取到的球为红、白各一的概率；（3分） （4）第二次取到红球的概率。（3分） 解：用表示第次取到红球，根据题意知：相互独立，从而有： （1）； （2）； （3） ； （4） ； 2、一部小说，分上、中、下三册。今随机地并排放在书架上，问从左 至右或从右至左恰好按上、中、下排列的概率为多少？（5分） 解： 3、一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出 的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率。（5分） 解：用表示第次取到合格品，则有： 4、已知，求（8分） 解：； 5、设一个仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱是甲厂生产， 其次品率为；3箱是乙厂生产，其次品率为；2箱是丙厂生产，其次品率 为。现从10箱中任取1箱，再从取得的箱子中任取一个产品。 （1）求取到正品的概率；（4分） （2）若抽到的产品是正品，求所抽到的箱子是甲厂生产的概率。（4 分） 解：用A、B、C分别表示产品是甲、乙、丙厂生产的，D表示产品是正 品，则有：P(A)=0.5，P(D/A)=9/10；P(B)=0.3，P(D/B)=14/15； P(C)=0.2，P(D/C)=1/20。 （1）P(D)=P(AD+BD+CD)=P(A)P(D/A)+P(B)P(D/B)+P(C)P(D/C) 0.5(9/10)+0.3(14/15)+0.2(19/20)0.45+0.28+0.19 0.92； （2）P(A/D)=P(AD)/P(D)=P(A)P(D/A)/P(D)0.5(9/10) /0.92 45/92 6、甲乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮三次，求 （1）两人进球数相等的概率；（6分） （2）甲比乙进球数多的概率。（6分） 解：用，分别表示甲、乙两人三次投篮中命中球的事件，且 ，互不 相容，互不相容，相互独立，则有： （1） 0.000216+0.018144+0.169344+0.1756160.36362. （2） =0.001512+0.003528+0.042336+0.002744+0.032928+0.131712 0.21476. 班级 学号 姓名 （二十一）离散型随机变量及其分布 1、以下选项中，可以作为离散型随机变量的分布列的是（ D ） A、 B、 C、 D、 2、若是某随机变量的分布函数，则（ B ） A、 B、 C、 D、 3、抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ D ） A、0.5 B、0.25 C、0.125 D、0.375 4、设随机变量的分布列为，求（1）分布函数；（2） 解：当时，； 当时，； 当时，；当时，。即： ；， 5、在一汽车通行道上，沿路有四盏红绿信号灯，设每盏灯各以0.5的概 率允许或禁止汽车通行。求该汽车前进时沿路通过的红灯数的分布。 解：由已知可知B(n,p). 0 1 2 3 4 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 6、设离散型随机变量的分布函数为，（1）求的分布列；（2）求。 解：（1）的分布列为： （2） 7、某类灯泡使用时数超过1000小时的概率为0.2，现有3个这种类型的 灯泡。求（1）在使用1000小时以后坏了的个数的分布列及分布函数； （2）在使用1000小时以后，最多只坏一个的概率。 解：（1）的分布列为： （2） 班级 学号 姓名 （二十一）连续型随机变量及其概率密度 1、设为随机变量的密度函数，则有（ C ） A、 B、 C、 D、 2、若，其密度函数为，则等于（ D ） A、0 B、 C、1 D、 3、设的密度函数为 ，（1）绘出密度曲线；（2）求；（3）求的分布 函数。 解：（1）略 （2）； （3） 4、设，求，。 解：； ； 5、设服从指数分布，其密度函数为，（1）求的值； （2）求 解：（1） （2） 6、假设某科统考的成绩近似地服从正态分布。已知第100名的成绩为60 分，问第20名的成绩约为多少？ 解： 这说明成绩在60和60以上的考生（第100名），在全体考生中占 84.13%，因此，考生总数大致为：100/0.8413119名，故前20名考生在 全体考生中的比率大致为：20/1190.1681。设S为第20名考生的成绩， 它满足： ， 查表得： 7、某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名。假设报名者 的考试成绩。已知90分以上的有12人，60分以下的有83人。若从高分 到底分录取，某人成绩为78分，问此人能否被录用？ 解：要解决此问题，首先确定，因为考试人数很多，可用频率近似概 率。 根据已知条件： 。 又因为， 反查标准正态表得：2 同理： ， 又因为 反查标准正态表得： 联立，解得：。 某人是否能被录取，关键看录取率。已知录取率为155/5260.2947，看某人是否录取解法有两 种方法。 方法1： 因为 0.21190.2947（录取率），所以此人能被录取。 方法2：看录取分数线，设被录取者最低分数为，则 （录取率） 解得 所以此人能被录取。 （二十五）数学期望和方差 1、设离散型随机变量的分布律如表所示： 求数学期望、方差和均方差。 解： 2、设离散型随机变量的分布函数为 求（1）的分布列； （2），。 解：（1） 0 1 2 0.3 0.5 0.2 （2） 3、已知，求。 解： 4、设连续型随机变量的分布函数为 求（1）常数； （2）。 解：（1）先求密度函数 再根据可得： （2） 5、盒中有5个球，其中有3个白球，2个黑球。从中任取两个球，求白球 数的数学期望和方差。 解：先求白球数的分布列 0 1 2 0.1 0.6 0.3 ， (二十六)大数定理与中心极限定理 1、在每次试验中, 事件发生的概率为0. 5，利用切比雪夫不等式求：在 1000次试验中，事件出现的次数