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3 行列式按行（列）展开,余子式和代数余子式 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在第 i 行和第 j 列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的aij 的余子式. 记作 Mij . 即 aij 的余子式记作 Mij . aij 的代数余子式 Aij = (-1)i+jMij.,中元素 的余子式和代数余子式分别为,二.行列式按行 （列）展开定理,引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除 aij 外，其余元素均为零，那么行列式D等于 aij与其代数余子式的乘积，即,证：设,定理1 行列式等于它的任 一 行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即,证：,类似地.若按列证明，可得,例1.计算,解,例2 计算,解: 按第一行展开,以此作递推公式，即可得,例3 证明范德蒙（Vandermonde）行列式,其中记号“”表示全体同类因子的乘积.,所以当n=2时（1）成立. 现在假设（1）对于n1阶Vandermonde行列式，即,证: 用数学归纳法.因为,我们来证明对 n 阶 Vandermonde行列式也成立.,例4.计算,三、行列式展开定理的推论,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即,或,证: 设,把D按第j行展开,有,在上式两端用 代替,得,显然,等式左端行列式有两行相同,故行列式等于零,即.,同理可证,综合定理1和推论有,其中,例5已知行列式 求 , 其中 是D
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