平行四边形教学设计案例

31 平行四边形（一）、设计指导思想本章是证明(一)和证明(二)的继续它同样是利用公理和已有的定理来证明前面我们曾探讨过的命题有关平行四边形及特殊平行四边形的结论（二）、教材分析“平行四边形”是研究特殊平行四边形的基础，在初中平面几何中占有重要的地位 本节的重、难点是能够用综合法证明平行四边形的性质定理和判定定理及其相关的结论（三）、学情分析本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。（四）、教学目标(一)教学知识点 1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力 2能够用综合法证明平行四边形的性质定理 (二)能力训练要求 1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力 2能够用综合法证明平行四边形的性质定理以及其他相关结论 3体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法 (三)情感与价值观要求 通过利用已有的公理和定理来证明新的结论的过程，使学生从中领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神（五）、教法学法教、学法设计设计依据教法以探索导学法为主，启发引导式等多种教法相互穿插、综合运用。 突出以教师为主导， 以学生为主体，以探索导学为主线的教学思想，发挥学生的个性，注重合作学习，依据不同的教学内容及学生实际情况灵活运用多种教法及学法。学法探究答疑贯穿始终，自学与合作学习相配合，观察与动手操作兼容并重。（六）、媒体选择媒体设计设计意图自制课件 贯穿教学始终，增强教学直观性和趣味性，适时突出重点，突破难点，适度加快教学进程，扩大教学容量。（七）、教学程序 巧设现实情景，引入新课 师我们前面曾做过这样一个实验(出示投影片311 A)任意作一个四边形，依次连接它四边的中点，你能得到一个怎样的四边形?你的结论对所有的四边形都成立吗? 师还记得吗?现在大家再来做一做 师好，你的结论是什么呢? 生任意的一个四边形，依次连接其四边的中点，所得到的四边形是平行四边形 对于所有的四边形，此结论都成立 师为什么呢?你能用推理的方法说明它吗?从今天开始，我们就来学习第三章：证明(三) 实际上，利用前面学过的公理和定理，我们可以证明许多与四边形有关的结论今天我们就来证明特殊的四边形平行四边形的性质 讲授新课 师我们要研究平行四边形的性质，首先就要知道什么是平行四边形谁来给大家说一下 生两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形它既是性质，又是判定 师很好我们用几何语言来叙述一下平行四边形的定义师生共析如图： MN/QP，NP/MQ， 四边形MNPQ是平行四边形 反过来， 四边形MNPQ是平行四边形， MN/PQ，NP/MQ 师平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质? 生甲平行四边形的对边相等 平行四边形的邻角互补 生乙平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 夹在两条平行线间的平行线段相等 师这些性质都是经过我们探索得到的你认为它们一定是正确的吗?你能利用前面学过的公理和定理证明吗? 我们先来证明“平行四边形的对边相等”这个命题，遇到一个文字命题，首先要? 生首先要分清命题的题设和结论，然后根据题意画图，再把文字命题结合图形写成几何语言 师好那我们共同来做这一工作 师生共析这个命题的题设是：平行四边形，其结论是：平行四边形的对边相等 图形如下： 已知四边形ABCD是平行四边形，求证：ABCD，BCDA 师要证明两条线段相等，由经验可知：可以把这两条线段放在两个三角形中，这时就需要把平行四边形转化成三角形那么如何转化呢? 生可以作对角线 师平行四边形的对角线就可以把平行四边形转化成三角形在这个题中既可以连接对角线AC，也可以连接BD下面大家来试着证明生甲证明：连接AC 四边形ABCD是平行四边形， AB/CD，BC/DA 12，3=4 ACCA， ABCCDA ABCD，BCDA 师很好，那大家在证明时，知道每步的理由吗? 生知道 师那运用了哪些性质公理、定理或判定公理、定理呢? 生乙用到了平行四边形的定义、平行线的性质定理、全等三角形的判定定理及全等三角形的性质定理等 师好，我们通过利用公理和已有的定理证明了这个命题是真命题，这时我们就可把它称为平行四边形的性质定理即 定理：平行四边形的对边相等 以后就可以直接应用： 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，BCDA 接下来，我们来想一想：由上面的证明过程，你还能得到什么结论? 生丙当ABCCDA时，则BD，又因为12，34所以可得到BADBCD因此，又可以由此得到平行四边形的另一性质定理：平行四边形的对角相等 师对，由证明的过程可以得到欲证结论以外的结论恰好说明了证明也是发现新结论的有效方法之一 由刚才的证明知道：要研究平行四边形，对角线是它的主要辅助线即对角线把平行四边形分成两个全等三角形，进而将平行四边形内的线段或角的相等问题转化为三角形全等的问题这体现了数学中的一个重要思想转化思想 接下来同学们想一想：你能用其他方法来证明平行四边形的对角相等吗? 生丁能 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，求证：BD，A=C 证明：四边形ABCD是平行四边形， AB/CD，BC/DA B+C180，C+D180 B=D 同理可证：AC 师同学们表现得真好，接下来我们来看一例题(出示投影片311 B)例：证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等 师生共析这个文字命题的题设是等腰梯形；其结论是同一底上的两个角相等 如下图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC求证：BC，AD 注意：在用几何语言书写梯形时，需指明哪两条边是梯形的上、下底如果要说明它是等腰梯形时，还需说明两腰相等 师同学们来议一议，如何证明这个题呢? 生把等腰梯形也转化成三角形因为我们证明过“等腰三角形的两个底角相等”所以，如果把B与C转化成等腰三角形的两个底角，那么就容易证明了 师生共析这样，我们可以将AB平移到DE的位置即平移一腰，如下图，如此我们就把待证问题转化成已证问题了证明：如下图，过点D作DE/AB，交BC于点E，则1B AD/BC，DE/AB， 四边形ABED是平行四边形， AB=DE，(平行四边形的对边相等) AB=DC， DCDE， 1=C， BC， A+B=180，ADC+C=180， AADC 生老师，这个例题证明了，那么这个命题可不可以是定理呢? 师大家说呢? 生齐声可以， 师对，因为这个命题的题设是等腰梯形，所以就可以把这个命题称为等腰梯形的性质定理，它也可以直接应用 在梯形ABCD中，AD/BC,ABDC， BC，AD 同学们来想一想，等腰梯形的性质定理的逆命题是什么?它成立吗? 生逆命题是：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 这个命题成立 师好，我们来做一做(出示投影片311 C) 证明：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 生如下图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，B=C求证：ABCD 证明：过点D作DE/AB，交BC于点E. 则1B AD/BC，AB/DE， 四边形ABED是平行四边形， ABDE BC， 1C， DEDC， ABDC 师很好，我们可以把等腰梯形的性质定理的逆命题也称之为定理因为这个命题的结论是等腰梯形，所以就可以把它称为等腰梯形的判定定理 接下来我们来证明平行四边形的其他性质课堂练习 (一)课本P74，随堂练习1、2 1证明；平行四边形的对角线互相平分 如下图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O求证：OA=OC，OB=OD 证明：在平行四边形 ABCD中，AB/CD， 14，2=3 又AB=CD， OABOCD， OAOC，OBOD 2证明：夹在两条平行线间的平行线段相等 如图，已知l1/l2，AB、CD是l1、l2之间的任意平行线段求证：ABCD 证明：l1/l2，AB/CD 四边形ABDC是平行四边形， ABCD (二)看课本P72P74，然后小结 课时小结 本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定理及等腰梯形的性质定理、判定定理 课后作业 (一)课本P74习题31 1、2 (二)1预习内容：课本P75P76 2预习提纲： (1)回忆平行四边形的判别条件 (2)如何利用公理或定理来证明平行四边形的判别条件? 活动与探究 1用下面方法证明等腰梯形的判定定理：(1)如下图，分别延长梯形ABCD的腰BA、CD，设它们相交于点E，通过证明EAD和EBC都是等腰三角形来证明定理(2)如下图，作梯形ABCD的高AE、DF，通过证明RtABERtDCF来证明定理 过程通过对本题的探究，让学生了解辅助线的使用对于学好四边形有很大帮助 结果(1)证明：分别延长梯形ABCD的腰BA、CD设它们相交于点E， AD/BC， B1，C2 BC， 1=2，EBEC， EAED， AB=CD (2)证明：分别过A、D作AEBC、DFBC，垂足为E、F则AEB=DFC=90 AD/BC， AEDF BC， RtABERtDCF ABCD板书设计 311 平行