2019年高考数学专题五直线与圆、圆锥曲线第5讲直线与圆锥曲线的位置关系（二）梯度训练新人教A版.docx

第5讲直线与圆锥曲线的位置关系(二)选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B对称问题1312轨迹问题1,2,3,6,8,9,101圆锥曲线与三角函数交汇问题5,11,125,6,8,10,13,14综合问题4,7,142,3,4,7,8,9,11,15,16巩固提高A一、选择题1.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为(B)(A)y=-2x (B)y=2x(C)y=2x-8 (D)y=2x+4解析:设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R是直线l上的点,所以-y=2(2-x)-4.即y=2x.故选B.2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上),M在直线PP1上,且=2,则动点M的轨迹方程是(D)(A)4x2+16y2=1(B)16x2+4y2=1(C)+=1 (D)+=1解析:由题意可知P是MP1的中点,设M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),则又+=4,故()2+y2=4,即+=1.故选D.3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为平面内的动点,满足|+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是(B)(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)y2=4x(D)y2=-4x解析:根据|+=0,得4+4(x-2)=0,化简得y2=-8x.故选B.4.已知椭圆+=1(ab0)与双曲线-=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e=.故选D.5.设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:关于t的方程t2cos +tsin =0有两个不等实根为t1=0,t2=-tan (tan 0),则过A,B两点的直线方程为y= -xtan ,双曲线-=1的渐近线为y=xtan ,所以直线y=-xtan 与双曲线没有公共点.故选A.6.动点P为椭圆+=1(ab0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(D)(A)抛物线(B)椭圆(C)双曲线的右支(D)一条直线解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得 |F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1,设P(x,y),则(0y1),故y=1-(0x2,0y1).当P沿BC运动时,y=1,则(0x1),所以y=-1(0x2,-1y0),由此可知P的轨迹如D所示,故选D.二、填空题8.已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.解析:设A(x,y),则D(,),所以|CD|=3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y0.答案:(x-10)2+y2=36(y0)9.已知O的方程是x2+y2-2=0,O的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向O和O所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:设P(x,y),切点分别为A,B,由O的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,知|OP|2-|AO|2=|OP|2-|OB|2,即|OP|2-2=|OP|2-6,所以x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.所以x=,故动点P的轨迹方程是x=.答案:x=10.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是.解析:如图,由题意知|QP|=|QF|.又|QP|=|QC|CP|,所以|QF|-|QC|=|CP|,即|QF|-|QC|=|CP|=2,所以点Q的轨迹是以F,C为焦点,实轴长为2的双曲线,其方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos F1PF2=.解析:因为a=b=,所以c=2.由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cos F1PF2=.答案:12.已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图,e=-1,所以|PF2|=.又因为a-c|PF2|a+c,所以a-ca+c,解得-1,即e-1.又因为0e1,所以-1e1.答案:(-1,1)13.若抛物线y=x2上存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称,则m的取值范围为.解析:法一(联立方程)设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为P(x0,y0),又直线l与直线AB垂直,故可设直线AB的方程为y=-x+n,将其代入y=x2得mx2+x-mn=0.因为x1,x2是该方程的两个根,故x0=(x1+x2)=-,又点P在直线l上,所以y0=m(x0-3)=m(-3)=-3m-,又因为点P在抛物线内,所以y0,即-3m-,也就是12m3+2m2+10,即(2m+1)(6m2-2m+1)0恒成立,所以m-.法二(点差法)显然m0,设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为 P(x0,y0),则kAB=x1+x2=2x0,又直线l与直线AB垂直,所以2x0=-,即x0=-,下同法一略.答案(-,-)三、解答题14.已知椭圆C:+=1,点A(3,0),P是椭圆C上的动点.(1)若直线AP与椭圆C相切,求点P的坐标;(2)若P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰ABP的顶点B在y轴上,求四边形OPAB面积的最小值.解:(1)设直线AP的方程为x=my+3,联立消去x可得(m2+3)y2+6my+3=0,故=12(2m2-3)=0,解得m=,从而y23y+3=0,解得y=,x=2.所以,点P的坐标为(2,).(2)设线段AP的中点为D.因为ABP是以AP为底边的等腰三角形,故BDAP.由题意,设P(x0,y0)(-y0|AB|,所以C点轨迹是以A,B为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点,故选C.2.已知椭圆x2+my2=1的离心率e(,1),则实数m的取值范围是(C)(A)(0,) (B)(,+)(C)(0,)(,+)(D)(,1)(1,)解析:椭圆标准方程为x2+=1.当m1时,e2=1-(,1),解得m;当0m1时,e2=1-m(,1),解得0m0即有交点,满足题意.5.已知ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:在ABP中,由正弦定理得=.故选A.6.双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P,Q,若PQF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为(A)(A) (B) (C) (D)7解析:设|PF1|=n,|PQ|=|QF2|=|PF2|=m,根据双曲线的定义有n=2a, m=4a,在三角形PF1F2中,F1PF2=,由余弦定理得4c2=(2a)2+(4a)2- 22a4acos,化简得e2=7,e=.故选A.7.将双曲线-=1(a0,b0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的“黄金三角形”,则双曲线C:x2-y2=4的“黄金三角形”的面积是(B)(A)-1(B)2-2(C)1 (D)2解析:由x2-y2=4,得-=1,则a2=b2=4,所以a=2,b=2,c=2,则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为(2,0),(2,0),(0,2),故所求“黄金三角形”的面积S=(2-2)2=2-2.故选B.8.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是(D)(A)(,1) (B)(,+)(C)(,+)(D)(,1+解析:记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos )+= +|AF|cos ,|AF|(1-cos )=,|AF|=.由得-1cos ,2-2(1-cos )4,0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率等于.解析:不妨设点P在双曲线右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又ca,所以在PF1F2中,PF1F2为最小内角,PF1F2=30.在PF1F2中,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-24a2ccos 30,即c2-2ac+3a2=0,两边同除以a2,得e2-2e+3=0,解得e=.答案:11.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,AOB的面积为,则AOB的内切圆半径为.解析:由e=2,可得=.由解得A(-,),B(-,-),所以=.将=代入,得p2=4,解得p=2.所以A(-1,),B(-1,-),则AOB的三边长分别为2,2,2,设AOB的内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.答案:2-312.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在抛物线上,所以=4x1,=4x2,两式作差得-=4(x1-x2),所以直线AB的斜率k=1,直线l的方程为y-2=x-2即x-y=0.答案:x-y=013.已知ABC的顶点A,B坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,则C点的轨迹方程为.解析:由sin B+sin A=sin C可知b+a=c=10,则|AC|+|BC|=108=|AB|,所以满足椭圆定义.令椭圆方程为+=1,则a=5,c=4,b=3,则轨迹方程为+=1(x5).答案:+=1(x5)14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为.解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k0),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20,则x1+x2=,x1x2=1,+=+=1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5+9,当且仅当a=2b时取 等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),联立得,x1=2,x2=,k=2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:三、解答题15.已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:(1)线段AB中点M的轨迹方程;(2)线段AB长度的最大值.解:(1)法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知直线AB的斜率 存在,设直线AB的方程为y=kx+m,与+=1联立得(2+k2)x2+2kmx+m2-8=0,则x0=-,y0=kx0+m=,所以,kMP=-,得m=-(2+k2).于是,y0=-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-x).法二设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)易知直线AB的斜率存在.+=1,+=1,则+=0,得=-,又=-1,得y0=-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-xb0),P(1,)在椭圆上,离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k0)与椭圆C交于A,B,连接AF1