2020届高考数学第八单元立体几何第57讲空间向量的应用（二）练习理新人教A版.docx

第57讲空间向量的应用(二)1(2014新课标卷改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1.求：(1)BM与AN所成的角的余弦值；(2)BM与平面ABC所成角的正弦值 以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，建立空间直角坐标系设CACB1，则B(0,1,0)，M(，1)，A(1,0,0)，N(，0,1)(1)设MB与AN所成的角为，因为(，1)，(，0,1)，所以cos |cos，|.所以MB与AN所成角的余弦值为.(2)因为(，1)，平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，设BM与平面ABC所成的角为，则sin |cos，n|.所以MB与平面ABC所成角的正弦值为.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动当AE为何值时，二面角D1ECD的大小为. 以点D为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，设AEx，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)设平面D1EC的法向量为n(a，b，c)，因为(1，x2,0)，(0,2，1)，由得令b1，得c2，a2x，故n(2x,1,2)是平面D1EC的一个法向量而(0,0,1)是平面ECD的一个法向量，依题意，cos得，故x12(不合题意，舍去)，x22.故当AE2时，二面角D1ECD的大小为.3如图所示，四边形PCBM是直角梯形，PCB90，PMBC，PM1，BC2，且AC1，ACB120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60.(1)求二面角MACB的余弦值；(2)求点C到平面MAB的距离 (1)因为PCAB，PCBC，ABBCB，所以PC平面ABC.在平面ABC内，过点C作CDCB交AB于点D，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示设P(0,0，x0)，则A(，0)，M(0,1，x0)所以(，x0)，(0,0，x0)由直线AM与平面PC所成的角为60，得|cos 60，即xx0，解得x01.所以(0,1,1)，(，0)设平面MAC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x11，得n1(1，)平面ABC的一个法向量为n2(0,0,1)设n1，n2所成的角为，则cos .由图知二面角MACB为锐角，故其余弦值为.(2)M(0,1,1)，A(，0)，B(0,2,0)，所以(，1)，(0,1，1)设平面MAB的法向量为m(x2，y2，z2)，则即令z21，得m(，1,1)，则点C到平面MAB的距离d.4(2017天津卷)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长 如图，以A为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,2,2)，M(0,0，1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的一个法向量，则因为(0，2，1)，(1,2，1)，所以不妨设y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意