2020版高考数学总复习教材高考审题答题（四）立体几何热点问题教案文（含解析）北师大版.docx

教材高考审题答题（四）立体几何热点问题核心热点真题印证核心素养平行关系的证明与体积或距离的计算2017，18；2016，19；2017浙江，19；2016四川，17直观想象，逻辑推理，数学运算垂直关系的证明与体积或距离的计算2018，18；2018，19；2017，18；2017，19；2016，18；2016，19直观想象，逻辑推理，数学运算平行与垂直关系的证明2018，19；2017江苏，15；2018北京，18；2017北京，18直观想象，逻辑推理教材链接高考立体几何中的折叠问题教材探究( 引自人教A版必修2 P79复习参考题B1经典试题)如图，边长为2的正方形ABCD中，(1)点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A，求证：ADEF；(2)当BEBFBC时，求三棱锥AEFD的体积试题评析(1)将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力(2)第(1)问要证明线线垂直，可通过证明线面垂直来完成，第(2)问求三棱锥的体积时，如果所给三棱锥的高不容易求出，可通过转换顶点法求解(3)答题时要注意第(1)、(2)问的条件是不同的，在第(1)问中E，F分别是所在边的中点，而第(2)问中则不是，很多粗心的同学容易在这个地方出现失误【教材拓展】 如图，在RtABC中，C90，D，E分别是AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置如图，使A1FCD.求证：A1FBE.证明由已知，ACBC，且DEBC，所以DEAC，DEDC，DEDA1，因为DCDA1D，DC，DA1平面A1DC，所以DE平面A1DC.由于A1F平面A1DC，所以DEA1F，又A1FCD，CDDED，CD，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，而BE平面BCDE，所以A1FBE.探究提高解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用【链接高考】 (2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积(1)证明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ACADA，AC，AD平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DAAM3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABPQESABP132sin 451.教你如何审题立体几何中的开放问题【例题】 (2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由审题路线自主解答(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.探究提高1.探索条件的常用方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件2探索结论的常用方法：首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设提醒开放问题把假设当作已知条件进行推理论证，会起到事半功倍之效【尝试训练】 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACBC，E在线段B1C1上，B1E3EC1，ACBCCC14.(1)求证：BCAC1；(2)(一题多解)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由解(1)因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以BCAA1.又因为BCAC，AA1ACA，AA1，AC平面AA1C1C，所以BC平面AA1C1C，又AC1平面AA1C1C，所以BCAC1.(2)法一当AF3FC时，EF平面A1ABB1.证明如下：如图，在平面A1B1C1内过点E作EGA1C1交A1B1于点G，连接AG.因为B1E3EC1，所以EGA1C1，又AFA1C1且AFA1C1，所以AFEG且AFEG，所以四边形AFEG为平行四边形，所以EFAG，又EF平面A1ABB1，AG平面A1ABB1，所以EF平面A1ABB1.法二当AF3FC时，FE平面A1ABB1.证明如下：如图，在平面BCC1B1内过点E作EGBB1交BC于点G，连接FG.因为EGBB1，EG平面A1ABB1，BB1平面A1ABB1，所以EG平面A1ABB1.因为B1E3EC1，所以BG3GC，所以FGAB，又AB平面A1ABB1，FG平面A1ABB1，所以FG平面A1ABB1.又EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面A1ABB1.又EF平面EFG，所以EF平面A1ABB1.满分答题示范立体几何中的位置关系的证明【例题】 (14分)(2018江苏卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.规范解答高考状元满分心得得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分如第(1)问中证明线面平行时，应套用线面平行的判定定理的三个条件，不能漏掉“AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C” 证明第(2)问中的线面垂直和面面垂直也是如此得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中证明AB1A1B和AB1BC构建模板【规范训练】 如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.证明(1)在PAD中，因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EFPD.因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)如图所示，连接BD，因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，所以BF平面PAD.又BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD. 1.(2019淮北模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PAAD.(1)求证：AF平面PEC；(2)求证：平面PEC平面PCD.证明(1)取PC的中点G，连接FG，EG，F为PD的中点，G为PC的中点，FG为CDP的中位线，FGCD，FGCD.四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，AECD，AECD.FGAE，FGAE，四边形AEGF是平行四边形，AFEG，又EG平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)PAAD，F为PD中点，AFPD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，ADPAA，AD，PA平面PAD，CD平面PAD，AF平面PAD，CDAF，又PDCDD，PD，CD平面PCD，AF平面PCD，由(1)知EGAF，EG平面PCD，又EG平面PEC，平面PEC平面PCD.2(2019河北五校联考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积(1)证明AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos 458，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线，由(1)知，VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，FFBCE2.3.如图，在矩形ABCD中，AB1，AD2，PA平面ABCD，E，F分别为AD，PA的中点，点Q是BC上一个动点(1)当Q是BC中点时，求证：平面BEF平面PDQ；(2)当BDFQ时，求的值(1)证明E，Q分别是矩形ABCD的对边AD，BC的中点，EDBQ，EDBQ，四边形BEDQ是平行四边形，BEDQ.又BE平面PDQ，DQ平面PDQ，BE平面PDQ，F是PA的中点，E是AD的中点，EFPD，EF平面PDQ，PD平面PDQ，EF平面PDQ，BEEFE，BE，EF平面BEF，平面BEF平面PDQ.(2)解连接AQ.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.BDFQ，PAFQF，PA，FQ平面PAQ，BD平面PAQ，AQ平面PAQ，AQBD，在矩形ABCD中，由AQBD得AQBDBA，AB2ADBQ，又AB1，AD2，BQ，则QC，.4(2019西安模拟)如图，直角梯形ABEF中，ABEBAF90，C，D分别是BE，AF上的点，且DAABBCa，DF2CE2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且APa.(1)求多面体ABCDPQ的体积；(2)求证：平面PBQ平面PBD.(1)解DAABBCa，ABCBAD90，四边形ABCD是正方形，CDAD，CDDP，又ADDPD，AD，DP平面ADP，CD平面ADP.ABCD，AB平面ADP，AD2DP2AP2，ADDP，又CDAD，CDDPD，CD，DP平面CDPQ，AD平面CDPQ，又ADBC，BC平面CDPQ.VBCDPQS梯形CDPQBCaa3，VBADPSADPABa2aa，多面体ABCDPQ的体积为VBCDPQVBADP.(2)证明取BP的中点G，连接GQ，DG，DQ，在ABP中，BP2a，BGBPa，在BCQ中，BQa.PQa，PQBQ，GQBP.QGa，又BDAB2aDP，DGBP，DGa，又DQa，DQ2QG2DG2，QGDG.又BPDGG，BP，DG平面PBD，QG平面PBD，又QG平面PBQ，平面PBQ平面PBD.5(2019郑州模拟)在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求F到平面BDE的距离(1)证明取BD中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC中点，所以OMCD，且OMCD，因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，因为EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF2，所以EFCD.所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以FMOE.又OE平面BDE且FM平面BDE，所以FM平面BDE.(2)解由(1)得FM平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，所以EHAD，因为平面ADE平面ABCD，且平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，因为BH平面ABCD，所以EHBH.因为四边形ABCD是菱形，所以ABAD2，又BAD60，所以ABD是等边三角形，所以BH.易得EH.在RtEBH中，因为EHBH，所以BE，所以SBDE，设F到平面BDE的距离为h，连接DM，因为SBDM4，所以由VEBDMVMBDE，得h，解得h.即F到平面BDE的距离为.6(2019南昌调研)如图，在四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BEEC.(1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离解(1)线段AD上存在一点P，使得CP平面ABEF，此时.理由如下：当时，过点P作PMFD交AF于点M，连接EM，则有，由题意可得FD5，故MP3，由题意可得EC3，又MPFDEC，MP綉EC，故四边形M