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精心整理第四章光的电磁理论41计算由表示的平面波电矢量的振动方向、传播方向、相位速度、振幅、频率、波长。解：由题意：振动方向为：由平面波电矢量的表达式：传播方向为：平面电磁波的相位速度为光速：m/s振幅：V/m频率：Hz波长：m42一列平面光波从A点传到B点，今在AB之间插入一透明薄片，薄片的厚度，折射率n1.5。假定光波的波长为nm，试计算插入薄片前后B点光程和相位的变化。解：设AB两点间的距离为d，未插入薄片时光束经过的光程为：插入薄片后光束经过的光程为：光程差为：则相位差为：43试确定下列各组光波表示式所代表的偏振态：（1），（2），（3），解：（1）为右旋圆偏振光。（2）为右旋椭圆偏振光，椭圆长轴沿yx（3）为线偏振光，振动方向沿yx44光束以30角入射到空气和火石玻璃（n21.7）界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的反射系数和。解：入射角，由折射定律：45一束振动方位角为45的线偏振光入射到两种介质的界面上，第一介质和第二介质的折射率分别为n11和n21.5。当入射角为50时，试求反射光的振动方位角。解：，由折射定律：反射光的振动方位角为：46光波在折射率分别为n1和n2的二介质界面上反射和折射，当入射角为时（折射角为），s波和p波的反射系数分别为和，透射系数分别为和。若光波反过来从n2介质入射到n1介质，且当入射角为时（折射角为），s波和p波的反射系数分别为和，透射系数分别为和。试利用菲涅耳公式证明：（1）；（2）；（3）；（4）证明：（1）（2）（3）（4）47如图，M1、M2是两块平行放置的玻璃片（n1.5），背面涂黑。一束自然光以布儒斯特角入射到M1上的A点，反射至M2上的B点，再出射。试确定M2以AB为轴旋转一周时，出射光强的变化规律。解：由于M1、M2是两块平行放置的玻璃片，因此两镜的入射角均为，且有：由于两镜背面涂黑，所以不必考虑折射光的影响。对于M1：因为是自然光入射，p、s分量光强相等。设入射自然光光强为I0，沿AB的反射光强为I1，则M1的反射率为：对于M2，假设在绕AB旋转的任一位置上，入射面与图面的夹角为，则将沿AB的入射光分解为p分量和s分量，其振幅分别为：入射角为出射光的振幅为：最后的出射光强为：48望远镜之物镜为一双胶合透镜，其单透镜的折射率分别为1.52和1.68，采用折射率为1.60的树脂胶合。问物镜胶合前后的反射光能损失分别为多少？（假设光束通过各反射面时接近正入射）解：系统包括4个反射面，由于假设光束通过各反射面时接近正入射，则未胶合时，各面的反射率为：设入射到系统的光能为W，则通过该系统后的光能为：光能损失为20同理，胶合后各面的反射率为：通过该系统后的光能为：光能损失为10.549如图，光束垂直入射到45直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强为I0，问从棱镜透出的光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。解：光束经过三个反射面，通过第一个反射面和第三个反射面时均为垂直入射，其反射率为：在第二个反射面即棱镜的斜面上，入射角为45。全反射的临界角为：在棱镜斜面上发生全反射，反射光强等于入射光强。从棱镜透出的光束的强度为：410如图，玻璃块周围介质的折射率为1.4。若光束射向玻璃块的入射角为60，问玻璃块的折射率至少应为多大才能使透入光束发生全发射？解：设玻璃的折射率为n2，则发生全发射的临界角为：由图中几何关系，折射角由折射定律：411产生圆偏振光的穆尼菱体如图所示，若菱体的折射率为1.65，求顶角A。解：光束经过两次全反射，每次反射后s波和p波之间的位相差为：其中是入射角，n为相对折射率：出射后产生圆偏振光，则需要：解得：或要发生两次全反射，则：由图中几何关系可知：不合题意顶角A为412线偏振光在玻璃空气界面上全反射，线偏振光电矢量的振动方向与入射面成一非零或/2的角度。设玻璃的折射率n1.5，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光s波和p波的位相差等于40？解：解得：或413如图所示是一根直圆柱形光纤，光纤芯的折射率为n1，光纤包层的折射率为n2，并且n1n2。（1）证明入射光的最大孔径角满足：；（2）若，最大孔径角为多少？解：（1）如图，为保证光线在光纤内的入射角大于临界角，必须使入射到光纤端面的光线限制在最大孔径角范围内。由折射定律：（2）当，时：最大孔径角为：414如图所示是一根弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为和（），光纤芯的直径为D，曲率半径为R。（1）证明入射光的最大孔径角满足：；（2）若，则最大孔径角为多少？解：在中，有：（2）当，时：最大孔径角为：415已知冕牌玻璃对0.3988m波长光的折射率为n1.52546，m1，求光在该玻璃中的相速和群速。解：相速度：m/s群速度：m/s416试计算下面两种色散规律的群速度（表示式中v是相速度）：（1）电离层中的电磁波，其中c是真空中的光速，是介质中的电磁波波长，b是常数。（2）充满色散介质（，）的直波导管中的电磁波，其中c是真空中的光速，是与波导管截面有关的常数。解：（1）（2）417设一平面光波的频率为Hz，振幅为1，t0时，在xOy面上的相位分布如图所示：等相位线与x轴垂直，的等相位线坐标为，随x线性增加，x每增加5m，相位增加2。求此波场的空间相位因子。解：x每增加5m，相位增加2m1沿y轴的相位不变化在xOy面上，t0时的相位应为：又处m1该光波电场的空间相位因子为：418一个功率为40W的单色点光源发出的光波的波长为500nm，试写出该光波的波动公式。解：单色点光源发出的光波为球面波：离开点光源单位距离处的光强为：W/m2离开点光源单位距离处的振幅为：V/mm1该光波的波动方程为：第五章光的干涉51波长为589.3nm的钠光照射在一双缝上，在距双缝200cm的观察屏上测量20个条纹共宽3cm，试计算双缝之间的距离。解：由题意，条纹间距为：双缝间距为：52在杨氏干涉实验中，两小孔的距离为1.5mm，观察屏离小孔的垂直距离为1m，若所用光源发出波长650nm和532nm的两种光波，试求两光波分别形成的条纹间距以及两组条纹的第8级亮纹之间的距离。解：对于650nm的光波，条纹间距为：对于532nm的光波，条纹间距为：两组条纹的第8级条纹之间的距离为：53一个长40mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系，继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了30个条纹。已知照射光波波长为656.28nm，空气折射率为1.000276，试求注入气体的折射率ng。解：气室充入空气和充气体前后，光程的变化为：而这一光程变化对应于30个波长：54在菲涅耳双面镜干涉实验中，光波长为600nm，光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为0.6m和1.8m，双面镜夹角为103rad，求：（1）观察屏上的条纹间距；（2）屏上最多能看到多少亮条纹？解：如图所示，S1S2的距离为：条纹间距为：角很小屏上能产生条纹的范围，如图阴影所示最多能看到的亮条纹数为：55在如图所示的洛埃镜实验中，光源S1到观察屏的距离为2m，光源到洛埃镜面的垂直距离为2.5mm。洛埃镜长40cm，置于光源和屏的中央。若光波波长为500nm，条纹间距为多少？在屏上可看见几条条纹？解：在洛埃镜实验中，S1和S1在平面镜中的像S2可看作是产生干涉的两个光源。条纹间距为：由图可知，屏上发生干涉的区域在P1P2范围内由于经平面镜反射的光波有的相位差，所以S1和S2可看作位相相反的相干光源。若P0点在干涉区内，它应该有一条暗条纹通过，并且P1P0内包含的暗条纹数目：P2P0内包含的暗条纹数目为：P1P2区域内可看见10个暗条纹，9个亮条纹56用0.5nm的绿光照射肥皂泡膜，若沿着与肥皂泡膜平面成30角的方向观察，看到膜最亮。假设此时干涉级次最低，并已知肥皂水的折射率为1.33，求此时膜的厚度。当垂直观察时，应改用多大波长的光照射才能看到膜最亮？解：在观察膜最亮时，应满足干涉加强的条件：0，1，2，3，按题意，1，肥皂膜厚度：若垂直观察时看到膜最亮，设1，应有：57在如图所示的干涉装置中，若照明光波的波长640nm，平板厚度h2mm，折射率n1.6，其下表面涂上某种高折射率介质（），问（1）反射光方向观察到的干涉圆环的中心是亮斑还是暗斑？（2）由中心向外计算，第10个亮斑的半径是多少？（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？设望远镜物镜的焦距为25cm。解：（1）平板的折射率介于上下介质的折射率之间，故环中心（）对应的光程差为：干涉级次为：环中心是一亮斑。（2）当中心是亮斑时，由中心向外计算，第10个亮环的角半径是：半径为：（3）第十个亮环处条纹的角间距为：间距为：58如图，单色光源S照射平行平板G，经反射后通过透镜L在其焦平面E上产生等倾干涉条纹，光源不直接照射透镜，光波长600nm，板厚d2mm，折射率n1.5，为了在给定系统下看到干涉环，照射在板上的谱线最大允许宽度是多少？解：设干涉环中心的干涉级次为，则：将m改写成：，则是最靠近中心的亮条纹的干涉级次，为了能看到干涉环，最大允许谱线宽度应满足：最大允许的谱线宽度为：59如图，G1是待检物体，G2是一标定长度的标准物，T是放在两物体上的透明玻璃板。假设在波长550nm的单色光垂直照射下，玻璃板和物体之间的锲形空气层产生间距为1.8mm的条纹，两物体之间的距离为80mm，问两物体的长度之差为多少？解：当垂直入射时，条纹间隔为：在该题中是空气层的楔角，且角很小两物体的长度之差为：510如图所示的尖劈形薄膜，右端厚度d为0.0417mm，折射率n1.5，波长为0.589m的光以30角入射到表面上，求在这个面上产生的条纹数。若以两块玻璃片形成的空气劈尖代替，产生多少条纹？解：经劈尖上下两表面反射的光发生干涉，其光程差近似为：其中是在上表面的折射角，h表示平均厚度。由折射定理：计算得：在上表面产生的条纹数，即在劈尖最右端的暗纹或亮纹级数。此时hd0.0417mm产生暗纹条件：0，1，2，3，劈尖棱线处是暗条纹，因此表面上有201条暗条纹，200条亮条纹当用两块玻璃片形成的空气劈尖代替时，在劈尖最右端的暗纹级数为：因此表面上有123条暗条纹，122条亮条纹玻璃衬底511集成光学中的楔形薄膜耦合器如图所示。楔形端从A到B厚度逐渐减小到零。为测定薄膜的厚度，用波长632.8nm的HeNe激光垂直照明，观察到楔形端共出现11条暗纹，且A处对应一条暗纹。已知薄膜对632.8nm激光的折射率为2.21，求薄膜的厚度。解：薄膜的折射率大于玻璃，因此入射光在楔形薄膜上表面反射有相位突变。产生暗条纹满足条件：0，1，2，3，在薄膜B处，h0，所以B处对应一暗纹。第11条暗纹在薄膜A处A处薄膜的厚度为：512如图，在一块平面玻璃板上，放置一曲率半径R很大的平凸镜，以观察牛顿环条纹。（1）证明条纹间隔e满足：，式中N是由中心向外计算的条纹数；（2）若分别测得相距k个条纹的两个环的半径为和，证明：证明：（1）透镜凸表面和玻璃板平面间的空气层中心O的厚度为零，可知牛顿环中心为一暗斑。设由中心向外计算，第N个暗环的半径为，则由图中几何关系可知：又N个条纹对应的空气层厚度差为：对上式微分，得：当时，条纹间距为：（2）由上面推得得结果：513在观察牛顿环时，用580nm的第五个亮环与用的第七个亮环重合，求波长为多少？解：设由中心向外计算，第N个亮环的半径为，则：亮环满足的光程差条件为：由题意，用580nm的第五个亮环与用的第七个亮环重合514曲率半径为R1的凸透镜和曲率半径为R2的凹透镜相接触如图所示。在钠黄光589.3nm垂直照射下，观察到两透镜之间的空气层形成10个暗环。已知凸透镜的直径D30mm，曲率半径R1500mm，试求凹透镜的曲率半径。解：515假设照射迈克尔逊干涉仪的光源发出两种波长的单色光（设）。因此当平面镜M1移动时，条纹将周期性的消失和再现。设表示条纹相继两次消失M1移动的距离，试证明：证明：当两波长形成的亮条纹重合时，可见度最好，而当的亮条纹与的暗条纹重合时，条纹消失，则当条纹消失时光程差满足：式中表示光束在半反射面上反射时的附加光程差，未镀膜时为则由上式得：当h增加时，条纹再次消失，这时干涉级之差增加1，即：两式相减，得：516在光学玻璃基片（）上镀制硫化锌膜层（n2.35），入射光波长，求正入射时最大反射率和最小反射率的膜厚和相应的反射率数值。解：反射率有最大值的膜厚是：相应的反射率为：反射率有最小值的膜厚是：相应的反射率为：517在玻璃片上（）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（n1.38），控制膜厚使其在正入射下对于波长0.5m的光给出最小反射率，试求这个单层膜在下列条件下的反射率：（1）波长，入射角（2）波长，入射角解：（1）由题意，在正入射下对于波长0.5m的光给出最小反射率，因此膜层的光学厚度为：当时，相位差为：（2），由折射定律：光束在基片内的折射角：对于s分量的有效折射率为：对于p分量的有效折射率为：在斜入射下，相位差为：因为入射光是自然光，故反射率为：518在照相物镜上镀一层光学厚度为（0.5m）的低折射率膜，试求在可见光区内反射率最大的波长为多少？解：镀低折射率膜，因此要使反射率最大，则：0，1，2，3，由题意，取m2，3得可见光区内反射率最大的波长为，519比较下面三个膜系的反射率：（1）7层膜，（2）7层膜，（3）9层膜，说明膜系折射率和层数对膜系反射率的影响解：（1）（2）（3）可见，膜系高折射率和低折射率层的折射率相差越大，且膜系层数越多，膜系的反射率就越高。520有一干涉滤光片间隔层厚度为1.8104mm，折射率n1.5，试求：（1） 正入射时滤光片在可见光区内的中心波长；（2） 透射带的波长半宽度，设高反射膜的反射率R0.91（3） 倾斜入射时，入射角分别为15和40时的透射光波长。解：（1）中心波长为：0，1，2，3，取m1，得在可见光区内的中心波长为：（2）波长半宽度：（3）倾斜入射时，透射光产生极大的条件是：当时，当时，521一块FP干涉滤光片，其中心波长0.6328m，波长半宽度，求它在反射光损失为10时的最大透过率。解：中心波长波长半宽度：求解得：最大透过率：522观察迈克尔逊干涉仪，看到一个由同心明、暗环所包围的圆形中心暗斑。该干涉仪的一个臂比另一个臂长2.5cm，且500nm，试求中心暗斑的级数，以及第六个暗环的级数。解：对于虚平板产生的等倾干涉条纹，最小值满足：中心为暗斑，则：干涉级数为：第6个暗环的干涉级次为：523利用如图所示的干涉系统可测量大球面反射镜的曲率半径。图中球面反射镜的球心位于OP2的延长线上，由O到P1和到P2的光程相等。假设半反射面A的镀膜恰使光束1、2的附加程差为零。在准直的单色光照射下，系统产生一些同心圆环条纹。若第十个暗环的半径为6mm，单色光波长为580nm，问球面反射镜的曲率半径是多少？解：作出球面反射镜M2在半反射面A中的虚像，系统产生的条纹亦可视为由虚空气薄层所产生，条纹即是牛顿环。由题意，O到P1和到P2的光程相等，且附加程差为零，所以圆环中心为一亮点，干涉级数为0。由圆心向外，第10个暗环的干涉级数为（10），故对应的空气层厚度为：524 FP干涉仪中镀金属膜的两玻璃板内表面的反射系数为r0.8944，试求锐度系数、条纹半宽度、条纹锐度。解：反射率为：锐度系数为：条纹半宽度：rad条纹锐度：525 FP干涉仪常用来测量波长相差较小的两条谱线的波长差。设干涉仪两板的间距为0.5mm，它产生的谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3mm和5mm，谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3.2mm和5.1mm，两谱线的平均波长为550nm，试决定两谱线的波长差。解：设对谱线的干涉环系中心的干涉级数为，则有：（1）其中表示光束在板面金属膜上反射时的附加光程差：，为在金属膜上反射的相变。若非整数，则写为：表示靠中心第一个亮环的干涉级数，由中心向外，第N个亮环的干涉级数为，而它的角半径由下式求出：与（1）式相减，得：一般很小，故有：第五环和第二环的半径平方之比为：同理，谱线干涉环系中心的干涉级数的小数部分：由（1）式，526已知汞绿线的超精细结构为546.0753nm，546.0745nm，546.0734nm，546.0728nm。问用FP标准具分析这一结构时应如何选取标准具的间距？（设标准具面的反射率R0.9）解：用FP标准具分析这一结构时，应选取标准具的间距使标准具的自由光谱范围大于超精细结构的最大波长差，并且使标准具的分辨极限小于超精细结构的最小波长差。由题意：超精细结构的最大波长差为：要使标准具的自由光谱范围大于超精细结构的最大波长差，则：标准具的分辨本领为：标准具的分辨极限：超精细结构的最小波长差为：要使，则：标准具的间距应满足：527激光器的谐振腔可看作是一FP标准具，若激光器腔长0.6m，两反射镜的反射率R0.99，气体折射率为1，输出谱线的中心波长为633nm，试求输出激光的频率间隔和谱线宽度。解：输出激光的频率间隔为：MHz谱线633nm的宽度是：528在杨氏干涉实验中，准单色光的波长宽度为0.06nm，平均波长为540nm，。问在小孔S1处贴上多厚的玻璃片可使干涉中心P0点附近的条纹消失？设玻璃的折射率为1.5。解：在小孔S1处贴上厚度为h的玻璃片后，P0点对应的光程差为：若这一光程差大于准单色光的相干长度，则P0点处观察不到条纹。相干长度为：529在杨氏干涉实验中，照射两小孔的光源是一个直径为3mm的圆形光源。光源发射光的波长为0.5m，它到小孔的距离为2m。问小孔能够发生干涉的最大距离是多少？解：扩展光源对两小孔S1S2中点的张角为：圆形光源的横向相干宽度为：小孔能够发生干涉的最大距离是530太阳直径对地球表面的张角约为32。在暗室中若直接用太阳光作光源进行双缝干涉实验（不用限制光源尺寸的单缝），则双缝间距不能超过多大？（设太阳光的平均波长为，日盘上各点的亮度差可以忽略。）解：因为将入射的太阳光看作不用限制光源尺寸的单缝，因此其横向相干宽度为：双缝间距不能超过第六章 光的衍射61求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图样中心的强度。解：对角线上第一个次极大对应于，其相对强度为：对角线上第二个次极大对应于，其相对强度为：62由氩离子激光器发出波长nm的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75mm0.25mm。在位于矩形孔附近正透镜（m）焦平面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。解：中央亮斑边缘的坐标为：mmmmmmmm中央亮斑是尺寸为3.26mm9.76mm的竖直矩形63一天文望远镜的物镜直径D100mm，人眼瞳孔的直径d2mm，求对于发射波长为m光的物体的角分辨极限。为充分利用物镜的分辨本领，该望远镜的放大率应选多大？解：当望远镜的角分辨率为：rad人眼的最小分辨角为：rad望远镜的放大率应为：64一个使用汞绿光（nm）的微缩制版照相物镜的相对孔径（）为1:4，问用分辨率为每毫米380条线的底片来记录物镜的像是否合适？解：照相物镜的最大分辨本领为：/mm380375可以选用每毫米380条线的底片。65若要使照相机感光胶片能分辨2 ?m的线距，问（1） 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？解：（1）由于相机感光胶片能分辨2 ?m的线距，则分辨本领至少为：线/毫米（2）可见光一般取中心波长nm计算，则相机的相对孔径至少为：66借助于直径为2m的反射式望远镜，将地球上的一束激光（nm）聚焦在月球上某处。如果月球距地球4105km。忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑直径。解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为：rad由于角度很小，因此激光在月球上的光斑直径为：m67直径为2mm的激光束（）射向1km远的接收器时，它的光斑直径有多大？如果离激光器150km远有一长100m的火箭，激光束能否把它全长照亮？解：激光束的衍射角为：rad离激光束1km远处的光斑直径为：m离激光束150km远处的光斑直径为：m大于火箭的长度，因此激光束能把它全长照亮。68一透镜的直径D2cm，焦距f50cm，受波长nm的平行光照射，试计算在该透镜焦平面上衍射图象的爱里斑大小。解：爱里斑直径为：cm69波长为550nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为60cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察。求单缝衍射中央亮纹的半宽度。解：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为：条纹的半宽度为：cm610用波长nm的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个五级极小的距离是6.3cm，屏和缝的距离是5m，求缝宽。解：衍射条纹第五个极小对应于：rad则左右两个五级极小的距离为：缝宽为：mm611波长nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。解：（1）中央亮纹的半角宽度为：rad中央亮纹的半宽度为：cm（2）第一亮纹的位置对应于，即：rad第一亮纹到中央亮纹的距离为：cm第二亮纹对应于rad第二亮纹到中央亮纹的距离为：cm（3）设中央亮纹的光强为，则第一亮纹的强度为：第二亮纹的强度为：612在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300mm，光波波长为632.8nm，问细丝直径为多少？解：设细丝的直径为D，则由题意：mm613在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长nm，透镜焦距cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离mm，并且第四级亮纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为：缝距为：mm第四级缺级缝宽为：mm614考察缝宽cm，双缝间隔cm，波长为0.6328m时的双缝衍射，在中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝457.2cm，计算条纹宽度。解：中央极大值两侧的衍射极小值满足：在中央极大值两侧的衍射极小值间的衍射角将满足：干涉极小满足：0，1，2在中央极大值两侧的衍射极小值间，干涉极小满足：的取值可为0，1，27，8出现的干涉极小值个数为16个条纹宽度为：mm615计算缝距是缝宽3倍的双缝的夫琅和费衍射第1，2，3，4级亮纹的相对强度。解：由题意，因此第三级缺级第三级亮纹的相对强度为0第1，2，4级亮纹分别对应于：，既是：，此时，第1，2，4级亮纹的相对强度分别为：616波长为500nm的平行光垂直入射到一块衍射光栅上，有两个相邻的主极大分别出现在和的方向上，且第四级缺级，试求光栅的栅距和缝宽。解：两个相邻的主极大分别出现在和的方向上，则：两式相减得：m第四级缺级缝宽为：m617用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽mm，不透明部分宽度mm，缝数N1000条，试求：（1）中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉主极大；（2）谱线的半角宽度。解：（1）中央峰两侧的衍射极小值满足：中央峰内的衍射角满足干涉主极大满足：0，1，2在中央峰内的干涉主极大满足：的取值可为0，1，2，3出现的干涉极小值个数为7个（2）谱线的角宽度为：rad618一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500mm，问：（1）它产生的波长nm的单色光一级和二级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的一级和二级谱线之间的距离是多少？解：（1）一级谱线和二级谱线的位置分别为：一级谱线和二级谱线的半宽度为：mmmm（2）一级谱线和二级谱线的线色散分别为：波长差的两种单色光的一级谱线之间和二级谱线之间的距离分别为：mmmm619钠黄光垂直照射一光栅，它的第一级光谱恰好分辨开钠双线（nm，nm），并测得589nm的第一级光谱线所对应的衍射角为2，第四级缺级，试求光栅的总缝数，光栅常数和缝宽。解：光栅的分辨本领为：其中nm光栅的总缝数为：第一级光谱满足：光栅常数为：mm第四级缺级缝宽为：mm620为在一块每毫米1200条刻线的光栅的一级光谱中分辨波长为632.8nm的一束HeNe激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需有多长？解：nm光栅所需要的缝数至少为：光栅的总长度为：mm621对于500条/mm的光栅，求可见光（0.40.76m）一级光谱散开的角度，一级红光（0.76m）的角色散率，以及对于m物镜的线色散率。解：光栅方程：对于紫光m的一级光谱有：对于红光m的一级光谱有：一级光谱散开的角度是一级红光的角色散率为：rad/nm相应的线色散为：m/nm622波长范围从390nm到780nm的可见光垂直照射栅距mm的光栅，为了在透镜焦面上得到可见光一级光谱的长度为50mm，透镜的焦距应为多少？解：光栅方程：对于紫光nm的一级光谱有：对于红光nm的一级光谱有：在透镜焦面上得到可见光一级光谱的长度为：透镜焦距为：mm623设计一块光栅，要求（1）使波长nm的第二级谱线的衍射角；（2）色散尽可能大；（3）第三级谱线缺级；（4）在波长nm的第二级谱线能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅参数后，问在透镜的焦平面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使波长nm的第二级谱线的衍射角，光栅常数需满足：mm要满足条件（2），则d应尽可能小，因此光栅常数为：mm第三级缺级缝宽为：mm由条件（4），光栅的缝数至少为：光栅形成的谱线应在的范围内。当时，即第四级谱线对应于衍射角，实际上看不见，此外第三级缺级，所以只能看见0，1，2级共5条谱线。624已知一光栅的光栅常数m，缝数为N20000条，求此光栅的一、二、三级光谱的分辨本领，并求波长m红光的二级光谱位置，以及光谱对此波长的最大干涉级次。解：光栅的分辨本领为：对于一级光谱：对于二级光谱：对于三级光谱：波长m红光的二级光谱位置为：光栅形成的谱线应在的范围内。当时，最大干涉级次为3625一块每毫米50条线的光栅，如要求它产生的红光（nm）的一级谱线和零级谱线之间的角距离为5，红光需用多大的角度入射光栅？解：光栅方程为：对于红光的零级谱线：对于红光的一级谱线：由微分定理：rad入射角为：626一块每毫米1200个刻槽的反射闪耀光栅，以平行光垂直于槽面入射，一级闪耀波长为480nm。若不考虑缺级，有可能看见480nm的几级光谱？解：一级闪耀波长为480nm，则：闪耀角为：槽面之间干涉产生主极大的条件为：0，1，2光栅形成的谱线应在的范围内。当时，当时，能看见480nm的谱线级数为：2，1，0627一闪耀光栅刻线数为100条/mm，用nm的单色平行光垂直入射到光栅平面，若第二级光谱闪耀，闪耀角应为多大？解：由于第二级光谱闪耀，则：闪耀角为：628在进行菲涅耳衍射实验中，圆孔半径，光源离圆孔0.3m，nm，当接收屏由很远的地方向圆孔靠近时，求前两次出现光强最大和最小的位置。解：该圆孔的菲涅耳数为：说明当接收屏从远处向圆孔靠近时，半波带最少是9个。因为为奇数，对应于第一个光强最大值，这时离圆孔的距离为：m对应于第二个光强最大值的半波带数11，出现在：m对应于第一个光强最小值的半波带数10，出现在：m对应于第二个光强最小值的半波带数12，出现在：m629波长nm的平行光射向直径D2.6mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏幕。问轴线与屏的交点是亮点还是暗点？至少把屏幕向前或向后移动多少距离时，该点的光强发生相反的变化？解：波带数与圆孔半径的关系为：当平行光入射时，波带数为：轴线与屏的交点是亮点当把屏幕向前移近圆孔，相应的波带数增加，增大到4时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：m屏幕移动的距离为：m当把屏幕向后移远圆孔，相应的波带数减小，减小到2时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：m屏幕移动的距离为：m630一波带片离点光源2m，点光源发光的波长为546nm，波带片成点光源的像位于2.5m远的地方，问波带片第一个波带和第二个波带的半径是多少？解：由波带片的成像公式：求得波带片的主焦距为：m则波带片第一个波带和第二个波带的半径分别为：mm631一个波带片的第八个带的直径为5mm，试求此波带片的焦距以及相邻次焦点到波带片的距离。设照明光波波长为500nm。解：波带片的焦距为：m相邻次焦点到波带片的距离为：m632波长632.8nm的单色平行光垂直入射到一圆孔屏上，在孔后中心轴上距圆孔m处的P点出现一个亮点，假定这时小圆孔对P点恰好露出第一个半波带，试求小圆孔的半径。当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点至圆孔的距离。解：波带数与圆孔半径的关系为：当平行光入射时，波带数为：m当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点对应于2，此时，该暗点至圆孔的距离为：m633单色点光源（）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环，接收点离光阑1m远，问在接收点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？解：半径为1mm的圆孔包含的波带数为：半径为0.5mm的圆孔挡住的波带数为：通光圆环通过的波带数为3，因此通光圆环在接收点产生的振幅等于一个波带在接收点产生的振幅，且近似地等于第一个波带产生的振幅，即：没有光阑时，接收点的振幅为：光强之比为：634波长为0.45m的单色平面波入射到不透明的屏A上，屏上有半径mm的小孔和一与小孔同心的环形缝，其内外半径为mm和mm，求距离A为80cm的屏B上出现的衍射图样中央亮点的强度，比无屏A时的光强大多少倍？解：若屏上只有一个半径mm小孔，相对于衍射图中心亮点，波面上露出的半波带数为：如果屏上小孔半径为mm，则波面上露出的半波带数为：如果屏上小孔半径为mm，则波面上露出的半波带数为：由于同心环缝的存在，第二个半波带被挡住。此时照射到屏B上衍射图样中央亮点的振幅为：如果屏A不存在，则屏B上衍射图样中央亮点的强度与比无屏A时的光强之比为：635有一波带片对波长的焦距为1m，波带片有10个奇数开带，试求波带片的直径是多少？解：由于波带片有10个奇数开带，则波带片包含的波带总数为：波带片的直径为：m636一波带片主焦点的强度约为入射光强的103倍，在400nm的紫光照明下的主焦距为80cm。问波带片应有几个开带，以及波带片的半径。解：设波带片n个开带,则主焦点相对光强为：若奇数开带，则波带片包含的波带总数为：此时波带片的半径为：mm若偶数开带，则波带片包含的波带总数为：此时波带片的半径为：mm第七章光在各向异性介质中的传播71KDP对于波长546nm的光波的主折射率分别为，试求光波在晶体内沿着与光轴成45角的方向传播时两个许可的折射率。解：寻常光的折射率不变，非寻常光的折射率由公式求得，其中：72一束钠黄光以60角方向入射到方解石晶体上，设光轴与晶体表面平行，并垂直与入射面，问在晶体中o光和e光夹角为多少？（对于钠黄光，方解石的主折射率，1.4864）。解：根据题意和光在晶体表面折射的性质，在晶体内折射的o光和e光波矢面与入射面截线为同心圆，o光和e光均服从折射定律。1.4864根据折射定律：由于光轴垂直于入射面，因此o光和e光的光线与波法线方向不分离，所以两折射光线的夹角73证明单轴晶体中e光线与光轴的夹角和e光波阵面法线与光轴的夹角有如下关系：证明：单轴晶体中e光的各矢量如图所示，表示e光线方向，表示e光波阵面法线方向，z轴为光轴方向。则：由图中几何关系可知：74证明在单轴晶体中，当时（表示e光波阵面法线与光轴的夹角），e光离散角有最大值，并求出最大值的表达式。证明：设e光线与光轴的夹角为，则对微分，得：当取最大值时，有由上式可得：此时，最大离散角为：75波长632.8nm的氦氖激光器垂直入射到方解石晶片（此时，方解石的主折射率，1.4864），晶片厚度d0.02mm，晶片表面与光轴成50角，试求晶片内o光和e光的夹角及其各自的振动方向，o光和e光通过晶片后的位相差是多少？解：由于入射光垂直入射，因此o光将不偏折地通过晶片，e光的波法线方向也遵守折射定律，垂直于晶片表面。光轴与e光波法线（也是o光方向）的夹角：905040由公式，得e光线与光轴的夹角：o光和e光的夹角：e光和o光的振动方向如右图所示，其中黑点表示振动方向垂直于纸面，线条表示振动方向在图面内。o光和e光的位相差：76一细光束掠入射单轴晶体，晶体的光轴与入射面垂直，晶体的另一面与折射表面平行。已知o、e光在第二个面上分开的距离是3mm，若no1.525，ne1.479，计算晶体的厚度。解：如图所示，入射角i90。根据题意，o光和e光均满足折射定律，且晶体中的o光和e光折射率大小等于其主折射率，其折射角：由于光轴垂直于入射面，因此o光和e光的光线与波法线方向不分离，所以两折射光线的夹角根据图中几何关系：其中，AB3mmOA晶体厚度77一块晶片的光轴与表面平行，且平行于入射面，试证明晶片内o光线和e光线的折射角之间有如下关系：证明：如图，以负单轴晶体为例，设入射角为，晶片内的o光的折射角为，o光遵守各向同性介质中的折射定理：对于e光，设波法线与光轴的夹角为，则e光的折射率为：由折射定理：e光与光轴的夹角：由图可知，e光折射角为：78一块负单轴晶体制成的棱镜如图所示，自然光从左方正入射到棱镜。试证明e光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角由下式决定：，并画出o光和e光的光路，决定它们的振动方向。证明：正入射的光束垂直于光轴，o光和e光以不同的相速度同向传播，o光的振动方向垂直于主截面，e光的振动方向平行于主截面。当在斜面上反射时，o光服从均匀介质的反射定律，其反射角等于入射角，故反射后沿晶体的光轴方向传播；而e光反射后的波法线方向与光轴成角，折射率变为：由图中几何关系，反射角为，根据各向异性介质的反射公式：将代入得：e光与光轴的夹角e光和o光的振动方向如右图所示，其中黑点表示振动方向垂直于纸面，线条表示振动方向在图面内。79一块单轴晶体的光轴垂直于表面，晶体的两个主折射率分别为no和ne，证明当平面波以入射角入射到晶体时，晶体内e光的折射角为：证明：设e光波法线与光轴的夹角为，由折射定理：其中，在空气中由此可得：e光与光轴的夹角710方解石晶片的光轴与表面成60，方解石对钠黄光的主折射率为no1.6584，ne1.4864，问钠黄光在多大的角度下入射（晶体光轴在入射面内），可使晶片内不发生双折射？解：不发生双折射时，折射光与光轴平行，由折射定律：即当入射角为56时，晶片内不发生双折射。711用KDP晶体制成顶角为60的棱镜，光轴平行于棱镜棱，KDP对于0.546m光的主折射率为no1.521，ne1.47，若入射光以最小偏向角的方向在棱镜内折射，用焦距为0.15m的透镜对出射的o光、e光聚焦，在谱线上形成的谱线间距为多少？解：由于棱镜的光轴平行于折射棱，即光轴垂直于入射面，因此晶体内的o光、e光满足通常的折射定律。根据最小偏向角公式：对于o光：对于e光：谱面上o、e光形成的谱线间距为：712由方解石晶体制成的格兰棱镜，对钠黄光的主折射率no1.6584，ne1.4864，加拿大树胶胶合（n1.55），问要获得单一束偏振光，棱镜顶角至少几度？如果选取80，则有效孔径角为多少？解：o光在胶合面上相当于从光密介质射向光疏介质，要得到出射的单一束偏振光，则应使o光在胶合面上发生全反射，临界角：垂直入射时在BC面上，入射角等于棱镜顶角棱镜顶角至少为69.17如图，若入射角过大，则o光在BC面上的入射角可能小于临界角当1刚好等于临界角时：由图中几何关系由折射定律：有效孔径角为：713用方解石制成的Nicol棱镜（使沿长边方向入射的光束在棱镜中产生o光全反射）如图所示，今有一束强度为I0的线偏振光沿棱镜的长边方向入射，线偏振光的振动方向与棱镜主截面成45角，问从棱镜另一端透出的光束的强度是多少？解：从棱镜透出的是e光，振动方向在主截面内。设入射光束的振幅为A0（），那么出射光束的振幅是：强度为：714线偏振光入射到一块表面和光轴平行的晶片，线偏振光的振动方向与晶片光轴成角，试求o光和e光的相对强度。解：如图，设光轴方向为y方向，入射面为yoz平面，则o光的振动方向为x方向，e光的振动方向为y方向。垂直入射的线偏振光与光轴成30角，设该线偏振光的幅度为A，如图所示，则在x、y方向的分量为：即o光和e光的振幅分别为：o光和e光的相对强度715当通过一检偏器观察一束椭圆偏振光时，强度随着检偏器的旋转而改变，当在强度为极小时，在检偏器前插入一块1/4波片，转动1/4波片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转动25就完全消光，问该椭圆偏振光是左旋还是右旋，椭圆长短轴之比是多少？解：椭圆偏振光可以看作是一个光矢量沿长轴方向的线偏振光和一个位相相差/2的光矢量沿短轴方向的线偏振光的合成。即：如图，设短轴方向为x轴，长轴方向为y轴。因此，当转动检偏器，使之透光轴平行于x轴时，强度最小。由题意，插入快轴沿x轴的1/4波片后，透射光为线偏振光，振动方向与x轴成65，此时快轴沿x轴的1/4波片产生的相位差：椭圆偏振光的初始位相差表示右旋椭圆偏振光，由图可知，椭圆长轴和短轴之比为：716在前后两个偏振器之间插入一块石英的波片，两偏振器的偏振轴夹角为60，波片的光轴与两偏振器的偏振轴都成30，问当光强为I0的自然光入射这一系统时，通过第二个偏振器后的光强是多少？解：右图可知，两偏振器偏振轴与x轴的夹角分别为：，自然光通过第一个偏振器后光强为通过第二个偏振器后的光强为：717厚为0.05mm的方解石晶片，其表面平行于光轴，置于两平行偏振器之间，晶片的主截面与它们的偏振轴成45角，试问在可见光范围内（780nm390nm），哪些波长的光不能通过？（已知no1.6584，ne1.4864）解：由题意，设入射偏振光光强为I0，则透过系统的光强为：当时，相应波长的光不能通过该系统这些波长是：在可见光内，下列波长的光不能通过：nm，688nm，637nm，593nm，555nm，521nm，491nm，465nm，441nm，419nm，400nm。718在两个偏振面正交放置的偏振器之间，平行放置一块厚度为0.856mm的石膏片，当m时，视场全暗，然后改变光的波长，当m时，视场又一次全暗，假设快、慢轴方向的折射率差在这个波段范围内与波长无关，试求这个折射率差。解：两个偏振器的偏振面正交，通过该系统的光强：设快慢轴的折射率差为，则当时，视场全暗。由题意：7