高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件：10.3变量间的相关关系与统计案例.ppt

第三节 变量间的相关关系与统计案例,三年13考 高考指数: 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.,1.线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用 是考查重点；主要是求线性回归方程的系数或利用线性回归方程进行预测，在给出临界值的情况下判断两个变量是否有关. 2.题型以选择题和填空题为主，难度不大，属中低档题.,1.线性相关关系与回归直线 (1)从散点图判断两个变量的相关关系 正相关：点散布在从 到 的区域. 负相关：点散布在从 到 的区域. (2)回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 附近， 就称这两个变量之间具有 .这条直线叫做回归 直线.,左下角,右上角,左上角,右下角,一条直线,线性相关关系,【即时应用】 (1)思考：相关关系与函数关系有什么异同点？ 提示:相同点：两者均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.,(2)判断下列各关系是否是相关关系.(请在括号内填“是”或“否”) 路程与时间、速度的关系； ( ) 加速度与力的关系； ( ) 产品成本与产量的关系； ( ) 圆周长与圆面积的关系； ( ) 广告费支出与销售额的关系. ( ) 【解析】是确定的函数关系，成本与产量，广告费支出与销售额是相关关系. 答案：否 否 是 否 是,2.回归直线方程 n个观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线 方程为 = ,(其中 我们将这个方程叫做回归直线方程， 叫做回归系数，相 应的直线叫做回归直线.,、,【即时应用】 (1)由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到回 归直线方程 ，判断下面说法是否正确.(请在括号内打 “”或“”) 任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程； ( ) 直线 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn) 中的一个点； ( ),直线 的斜率 ； ( ) 直线 和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的 偏差 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差 中最小的. ( ) (2)已知回归方程 4.4x838.19，则可估计x与y的增长速 度之比约为_.,【解析】(1)任何一组观测值都能利用公式得到直线方程，但 这个方程可能无意义，不正确；回归直线方程 经 过样本点的中心( )，可能不经过(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)中的任何一点，这些点分布在这条直线附近，不正 确；正确；正确 (2)x与y的增长速度之比即约为回归方程的斜率的倒数 答案：(1) (2),3.独立性检验 (1)独立性检验的有关概念 分类变量 可以利用不同“值”表示个体所属的 的变量称为分 类变量.,不同类别,22列联表 假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表称为22列联表，如表：,(2)K2统计量 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个 随机变量K2= ,其中n= 为样 本容量. (3)独立性检验的定义及判断方法 独立性检验的定义 利用随机变量K2来判断“ ”的方法，称为 独立性检验. 独立性检验的方法有列联表法、等高条形图法及K2公式法.,a+b+c+d,两个分类变量有关系,【即时应用】 (1)下面是一个22列联表 则表中a、b处的值分别为_. (2)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k=27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是_的(填“有关”或“无关”).,【解析】(1)a+21=73,a=52. 又a+2=b,b=54. (2)k=27.636.635, 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为打鼾与患心脏病有关. 答案：(1)52、54 (2)有关,线性相关关系的判断 【方法点睛】利用散点图判断线性相关关系的技巧 (1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系； (2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；,(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.,【例1】下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表. (1)将表中的数据画成散点图； (2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？ (3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系,【解题指南】画出散点图进行分析,然后由线性相关的定义判断. 【规范解答】(1)画出的散点图如图 (2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系,(3)根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等如图,【反思感悟】粗略判断相关性，可以观察一个变量随另一个变量变化而变化的情况.画出散点图能够更直观地判断是否相关，相关时是正相关还是负相关.,【变式训练】5个学生的数学和物理成绩如下表： 画出散点图，并判断它们是否有相关关系,【解析】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i1,2，5)，作出散点图如图 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关.,线性回归方程及其应用 【方法点睛】求样本数据的线性回归方程的步骤 第一步，计算平均数 第二步，求和 ; 第三步，计算 第四步，写出回归方程,【提醒】如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所求得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.,【例2】(1)(2011广东高考)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. (2)测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：,画出散点图，说明变量y与x的相关性； 如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程. (已知： =66.8, =67.01, =4 462.24, 4 490.34, =44 794, =44 941.93, =44 842.4),【解题指南】(1)求出回归方程，代入相关数据求得； (2)根据散点图判断相关性. 根据已知数据和提示的公式数据求解,写出线性回归方程.,【规范解答】(1)由题设知：设解释变量为x，预报变量为y， 它们对应的取值如下表所示 于是有 =173， =176， , =176-1731=3,得回归方程为 =x+3,所以当x=182时， =185. 答案：185,(2)散点图如图所示: 观察散点图中点的分布可以看出:这些点在一条直线的附近分布，所以变量y与x之间具有线性相关关系.,设回归方程为 . 由 =67.01-0.464 666.835.974 7. 所求的线性回归方程为 =0.464 6x+35.974 7.,【互动探究】若本例(2)题干不变,如果父亲的身高为73英寸，试估计儿子的身高. 【解析】由本例(2)可知回归方程为 =0.464 6x+35.974 7. 当x=73时， =0.464 673+35.974 769.9(英寸). 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.,【反思感悟】求线性回归方程，主要是利用公式，求出回归 系数 ，求解过程中注意计算的准确性和简便性.利用回归方 程预报，就是求函数值.,【变式备选】已知x,y的取值如下表所示： 从散点图分析，y与x线性相关，且 =0.95x+a,以此预测当x=5 时，y=_.,【解析】回归直线一定过样本点中心， =2, =4.5,代入 =0.95x+a中，得a=2.6，线性回归方程为 =0.95x+2.6,当 x=5时，y=7.35. 答案：7.35,独立性检验的基本思想及其应用 【方法点睛】利用统计量K2进行独立性检验的步骤 第一步根据数据列出22列联表； 第二步根据公式计算K2的观测值k； 第三步比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，作出统计推断.,【例3】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件根据所给数据： (1)写出22列联表； (2)判断产品是否合格与设备改造是否有关 【解题指南】列表后利用K2的观测值进行检验.,【规范解答】(1)由已知数据得 (2)根据列联表中的数据，K2的观测值为 k 由于12.3810.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品合格与设备改造有关,【反思感悟】准确计算K2的观测值是关键.能有多大的把握认为两个变量有关，应熟悉常用的几个临界值.,【变式训练】为研究是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽取290人，得到如下列联表： 利用列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别是否有关？,【解析】由列联表中的数据得 K2的观测值k 11.953. k11.95310.828. 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是否喜欢饮酒与性别有关.,【变式备选】有两个分类变量X与Y，其22列联表如下表其中a,15a均为大于5的整数，则a取何值时在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“X与Y之间有关系”？,【解析】查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为X与Y之间有关系，则K22.706， 而其观测值k 解k2.706得a7.19或a5且15a5，aZ，所以a8,9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“X与Y之间有关系”,【满分指导】线性回归方程解答题的规范解答 【典例】(12分)(2011安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：,(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 = bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量. 【解题指南】将数据进行处理，把数据同时减去一个数代入公式计算； 利用公式求回归直线方程，并进行预测.,【规范解答】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下： 2分,对预处理的数据，容易算得 =0， =3.2，4分 b ，6分 a= -b =3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 -257=b(x-2 006)+a=6.5(x-2 006)+3.2.8分 即 =6.5(x-2 006)+260.2.10分 (2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为 6.5(2 012-2 006)+260.2=6.56+260.2=299.2(万吨). 12分,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2011江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下： 则y对x的线性回归方程为( ) (A) x1 (B) x1 (C) 88 x (D) 176,【解析】选C.由表中数据知回归直线是上升的，首先排除D. 176， 176，由线性回归性质知：点( ， ) (176,176)一定在回归直线上，代入各选项检验，只有C符合， 故选C.,2.(2012揭阳模拟)为了解某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)的关系，统计了(x,y)的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是( ) (A) =-10x-198 (B) =-10x+198 (C) =10x+198