2020版高中数学第一章计数原理检测（B）（含解析）新人教A版.docx

第一章 计数原理检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a,b,组成复数a+bi,其中虚数有()A.36个B.42个C.30个D.35个解析:因为a,b互不相等且a+bi为虚数,所以b只能从1,2,3,4,5,6中选一个,共6种方法,a从剩余的6个数中选一个有6种方法,根据分步乘法计数原理知,虚数的个数为66=36.答案:A2从长度分别为1,2,3,4的4条线段中任取3条,不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的3条线段为边可组成三角形的个数为m,则mn=()A.0B.14C.12D.34解析:由题意知,n=C43=4,由三角形的三边关系知,可组成三角形的只有长度分别为2,3,4的一组线段,即m=1,所以mn=14.答案:B3若ax+x29的展开式中x3的系数为94,则常数a的值为()A.1B.2C.3D.4解析:由于ax+x29的展开式的通项公式为Tk+1=C9kax9-kx2k2=C9ka9-k2-k2x3k2-9.令3k2-9=3,可得k=8,故展开式中x3的系数为C98a116=94,解得a=4.答案:D4在数字1,2,3与符号“+”“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列的个数是()A.6B.12C.18D.24解析:先排1,2,3,有A33=6种排法,再将“+”“-”两个符号插入,有A22=2种排法,共有62=12种排法.答案:B5已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1解析:因为(1+x)5的二项展开式的通项为C5rxr(0r5,rZ),则含x2的项为C52x2+axC51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.答案:D6设函数f(x)=x-1x6,x0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x0时,f(x)=-x0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是_.解析:x-ax6展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-axr=(-a)rC6rx6-3r2.当r=2时,x3的系数A=(-a)2C62=15a2,当r=4时,常数项B=(-a)4C64=15a4,因为B=4A,得15a4=415a2,所以a=2(负值舍去).答案:2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线.(1)用这9个点可以确定多少条直线?(2)用这9个点可以确定多少个三角形?(3)用这9个点可以确定多少个四边形?解: (1)确定一条直线需要两个点,因为有4个点共线,所以这9个点所确定直线的条数为C92-C42+1=31.(2)确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这9个点确定三角形的个数为C93-C43=80.(3)确定一个四边形需要四个不共线的点(且任意三点不共线),所以这9个点确定四边形的个数为C94-C51C43-C44=105.17(8分)已知在3x-33xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.解: (1)通项公式为Tk+1=Cnkxn-k3(-3)kx-k3=Cnk(-3)kxn-2k3.因为第6项为常数项,所以k=5时有n-2k3=0,即n=10.(2)令n-2k3=2,得k=12(n-6)=2,因此所求的系数为C102(-3)2=405.(3)根据通项公式,由题意得10-2k3Z,0k10,kZ,令10-2k3=r(rZ),则10-2k=3r,即k=5-32r.因为kZ,所以r应为偶数.于是r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为C102(-3)2x2,C105(-3)5,C108(-3)8x-2.18(9分)从7名男生5名女生中选出5人,分别求符合下列条件的选法数.(1)A,B必须被选出;(2)至少有2名女生被选出;(3)选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.解: (1)除A,B选出外,从其他10个人中再选3人,共有选法种数为C103=120.(2)按女生的选取情况分类:选2名女生3名男生;选3名女生2名男生;选4名女生1名男生;选5名女生.所有选法种数为C52C73+C53C72+C54C71+C55=596.(3)选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,剩下的10人中任选3人担任其他3个班委.由分步乘法计数原理可得到所有选法种数为C71C51A103=25200.19(10分)在杨辉三角形中,每一行除首末两个数之外,其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和;(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数,使它们的比是345,并证明你的结论.解: (1)Cn+1r=Cnr+Cnr-1.(2)1+2+22+2n=2n+1-1.(3)设Cnr-1CnrCnr+1=345,由Cnr-1Cnr=34,得rn-r+1=34,即3n-7r+3=0.由CnrCnr+1=45,得r+1n-r=45,即4n-9r-5=0.解联立方程组,得n=62,r=27,即C6226C6227C6228=345.20(10分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.解: (1)将所有的三位偶数分为两类:若个位数为0,则共有A42=12个;若个位数为2或4,则共有233=18个.所以,共有30个符合题意的三位偶数.(2)将这些“凹数”分为三类:若十位数字为0,则共有A42=12个;若十位数字为1,则共有A32=6个;若十位数字为2,则共有A22=2个.所以