2020版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习（含解析）新人教A版.docx

2.基本不等式基础巩固1函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：y=3x2+6x2+1=3x2+3+6x2+1-3.3x2+30,6x2+10,y2(3x2+3)6x2+1-3=62-3,当且仅当3x2+3=6x2+1时,y取得最小值62-3.答案：D2已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：1a+1b+2ab21ab+2ab4,当且仅当a=b,ab=1时,等号成立,即a=b=1时,1a+1b+2ab取最小值4.答案：C3若x,yR,且满足x+3y=2,则3x+27y+1的最小值是()A.339B.1+22C.6D.7解析：3x+27y+1=3x+33y+123x33y+1=23x+3y+1=23+1=7,当且仅当x=3y时,等号成立.故所求最小值为7.答案：D4设a,b是正实数,以下不等式恒成立的序号为()ab2aba+b;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+2ab2.A.B.C.D.解析：对于,ab-2aba+b=ab(a+b)-2aba+b=ab(a+b-2ab)a+b=ab(a-b)2a+b0,不合题意,则应排除A,B;正确,故选D.答案：D5设a0,b0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14解析：3是3a与3b的等比中项,(3)2=3a3b,即3=3a+b.a+b=1.此时1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a+1b的最小值为4.答案：B6已知0a1,0b2ab,a2+b22ab.a2a,b2a2+b2.四个数中最大的是a+b.答案：a+b7已知正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy的最小值为.解析：由于正数x,y满足x+2y=1,则x+8yxy=1y+8x(x+2y)=10+xy+16yx10+2xy16yx=18,当且仅当x+2y=1,xy=16yx,即x=23,y=16时,等号成立.所以x+8yxy的最小值为18.答案：188已知a,b,c0,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c9.分析：(1)注意“1”的代换.(2)a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc3+ba+ab+ca+ac+cb+bc.这一步为使用基本不等式创造了条件.证明：1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.9若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解: (1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,当且仅当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知2a+3b26ab43,由于436,因此不存在a,b,使得2a+3b=6.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?解:设这种汽车使用n年后报废最合算,这n年中汽车每年的平均费用为y万元,则y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)20.2n=10n+n10+13,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析：(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx1+a+2a=(a+1)2,当且仅当yx=a时,等号成立.(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,需(a+1)29.a4.故选B.答案：B2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5 km处B.4 km处C.3 km处D.2 km处解析：设仓库到车站的距离为xkm,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x20.8x20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.答案：A3若a,b,c0,且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为()A.3-1B.3+1C.23+2D.23-2解析：因为a,b,c0,且a(a+b+c)+bc=4-23,所以4-23=a2+ab+ac+bc=14(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)14(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2),当且仅当b=c时,等号成立.所以(23-2)2(2a+b+c)2,则2a+b+c23-2.故选D.答案：D4函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则1m+2n的最小值为.解析：函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A(-2,-1).点A在直线mx+ny+1=0上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn0,m0,n0.则1m+2n(2m+n)=2m+nm+4m+2nn=2+nm+4mn+24+2nm4mn=4+4=8,当且仅当m=14,n=12时,等号成立.答案：85(2017天津,理12)若a,bR,ab0,则a4+4b4+1ab的最小值为.解析：a,bR,且ab0,a4+4b4+1ab4a2b2+1ab=4ab+1ab4当且仅当a2=2b2,4ab=1ab,即a2=22,b2=24时取等号.答案：46若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析：令ab=t(t0),则由ab=a+b+32ab+3(当且仅当a=b时,等号成立),得t22t+3,即t2-2t-30.解得t3或t-1(不合题意,舍去).ab3.ab9,当且仅当a=b=3时,等号成立.答案：9,+)7已知a,b,x,y0,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.解:x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayxa+b+2ab=(a+b)2,当且仅当bxy=ayx时,等号成立.故(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18.又a+b=10,由可得a=2,b=8或a=8,b=2.8已知ab,ab=1,求证:a2+b222(a-b).证明：ab,a-b0.又ab=1,a2+b2a-b=a2+b2-2ab+2aba-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b2(a-b)2a-b=22.a2+b2a-b22,即a2+b222(a-b),当且仅当a-b=2a-b,即a-b=2(a-b=-2舍去)时,等号成立.9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y与ab成反比,又设比例系数为k,则y=kab.由于受箱体材料多少的限制,a,b之间应有一定的关系式,即22b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a0,b0,求a,b为何值时,y=kab最小.解法一设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意知y=kab,其中k为比例系数(k0).据题设有22b+2ab+2a=60(a0,b0),b=30-a2+a(由a0,b0可得a0),则a=t-2.从而30a-a22+a=30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34-t+64t,y=kabk34-2t64t=k18,当且仅当t=64t,即a+2=64a+2时取等号.a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二设流出的水中该杂质的质量分数为y,依题意y=kab,其中k为比例