2020版高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法练习（含解析）新人教A版.docx

2.3数学归纳法课时过关能力提升基础巩固1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN*),第一步应验证 ()A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析:由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立,故选C.答案:C2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=12+13+14解析:由题意知f(n)的最后一项的分母为n2,故f(2)=12+13+122,排除选项A,选项C.又f(n)=1n+0+1n+1+1n+(n2-n),所以f(n)的项数为n2-n+1.故选D.答案:D3.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13-14+1n-1-1n=21n+2+1n+4+12n时,若已假设当n=k(k2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析:因为假设n=k(k2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.答案:B4.用数学归纳法证明不等式1+12+14+12n-112764(nN*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:左边=1+12+14+12n-1=1-12n1-12=2-12n-1,代入验证可知n的最小值是8.答案:B5.用数学归纳法证明1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n,则当n=k+1时,等式左边应在n=k的基础上加上()A.12k+2B.-12k+2C.12k+1-12k+2D.12k+1+12k+2解析:当n=k时,左边=1-12+13-14+12k-1-12k,当n=k+1时,左边=1-12+13-14+12k-1-12k+12k+1-12k+2.答案:C6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(kN*)命题为真时,进而需证n=时,命题为真.解析:因为n为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案:2k+17.在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(nN*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为.答案:(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8.用数学归纳法证明122+132+142+1n21-1n(n2,nN*).分析:验证当n=2时不等式成立假设当n=k时不等式成立证明当n=k+1时不等式成立结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,右边=1-12=12.因为1412,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k2,kN*)时,不等式成立,即122+132+142+1k21-1k,则当n=k+1时,122+132+142+1k2+1(k+1)21-1k+1(k+1)2=1-(k+1)2-kk(k+1)2=1-k2+k+1k(k+1)21-k(k+1)k(k+1)2=1-1k+1.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对任意n2的正整数,不等式都成立.9.用数学归纳法证明14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(其中nN*).证明(1)当n=1时,左边=14=4,右边=122=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时等式成立,即14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+1)+12,即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何nN*都成立.能力提升1.某同学解答“用数学归纳法证明n(n+1)n+1(nN*)”的过程如下:证明:当n=1时,显然命题是正确的;假设当n=k(k1,kN*)时,有k(k+1)k+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+20,整数p1,nN*.(1)用数学归纳法证明:当x-1,且x0时,(1+x)p1+px;(2)数列an满足a1c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p,证明:anan+1c1p.证明(1)当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设当p=k(k2,kN*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合可得,当x-1,x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.(2)先用数学归纳法证明anc1p.当n=1时,由题设a1c1p知anc1p成立.假设当n=k(k1,kN*)时,不等式akc1p成立.由an+1=p-1pan+cpan1-p及a1c1p0,易知an0,nN*.则当n=k+1时,ak+1ak=p-1p+cpak-p=1+1pcakp-1.由akc1p0,得-1-1p1pcakp-11+p1pcakp-1=cakp.因此ak+1pc,即ak+1c1p.所以当n=k+1时,不等式anc1p也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式anc1p均成立.因此an+1c1p也成立.再由an+1an=1+1pcanp-1可得an+1an1,即an+1an+1c1p,nN*.7.已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n)=n+2+n2+n3,n=6t,n+2+n-12+n-13,n=6t+1,n+2+n2+n-23,n=6t+2,n+2+n-12+n3,n=6t+3,n+2+n2+n-13,n=6t+4,n+2+n-12+n-23,n=6t+5(tN*).下面用数学归纳法证明:当n=6时,f(6)=6+2+62+63=13,结论成立;假设当n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+k-12+k-23+3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12+k-13+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k2+k-23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+