2020版高中数学第二讲参数方程检测（含解析）新人教A版.docx

第二讲 参数方程检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x=3+tsin70,y=-tcos70(t为参数)的倾斜角为()A.20B.70C.110D.160解析令t=-t,直线的参数方程可化为x=3+tcos160,y=tsin160(t为参数).故直线的倾斜角为160.答案D2.极坐标方程=cos 和参数方程x=-1-t,y=2+3t(t为参数)所表示的图形分别是()A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线解析=cos,x2+y2=x.故=cos表示圆.x=-1-t,y=2+3t,3x+y+1=0.故x=-1-t,y=2+3t(t为参数)表示直线.答案A3.已知曲线x=3cos,y=4sin(为参数,0)上的一点P,原点为O,直线PO的倾斜角为4,则点P的坐标是()A.(3,4)B.322,22C.(-3,-4)D.125,125解析曲线的普通方程为x29+y216=1(-3x3,0y4),直线PO的方程为y=x,故交点坐标为125,125.故选D.答案D4.已知三个方程:x=t,y=t2;x=tant,y=tan2t;x=sint,y=sin2t(都是以t为参数),则表示同一曲线的方程是()A.B.C.D.解析的普通方程都是y=x2,但中x的取值范围相同,都是xR,而中x的取值范围是-1x1.答案B5.若直线x=tcos,y=tsin(t为参数)与圆x=4+2cos,y=2sin(为参数)相切,则直线的倾斜角为()A.6或56B.4或34C.3或23D.-6或-56解析直线的普通方程为y=tanx,即xsin-ycos=0.圆的普通方程为(x-4)2+y2=4.由于直线与圆相切,则|4sin|sin2+cos2=2,即|sin|=12.所以tan=33.故=6或56.答案A6.已知曲线C的参数方程为x=2+3cos,y=-1+3sin(为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆.则圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=|2+3+2|10=71010,且3-710100时,x2+y2=1,且y0;当x0,则直线xcos +ysin =r与圆x=rcos,y=rsin(是参数)的位置关系是.解析根据题意得已知圆的圆心在原点,半径为r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=|0+0-r|cos2+sin2=r,所以直线和圆相切.答案相切13.已知圆的摆线的参数方程为x=12(-sin),y=12(1-cos)(为参数),则参数=3对应的点的坐标为.解析将=3代入参数方程x=12(-sin),y=12(1-cos)中,得x=123-sin3=123-32=4-63,y=121-cos3=121-12=6.故所求的点的坐标为(4-63,6).答案(4-63,6)14.(2018北京海淀区一模)直线x=2t,y=t(t为参数)与曲线x=2+cos,y=sin(为参数)的公共点个数为.解析直线x=2t,y=t(t为参数)消去参数t,得x-2y=0,曲线x=2+cos,y=sin(为参数)消去参数,得(x-2)2+y2=1,联立x-2y=0,(x-2)2+y2=1,得x=2,y=1或x=65,y=35.因此直线x=2t,y=t(t为参数)与曲线x=2+cos,y=sin(为参数)的公共点个数为2.答案215.已知直线l的参数方程为x=1+t,y=4-2t(参数tR),圆C的参数方程为x=2cos+2,y=2sin(参数0,2),则直线l被圆C所截得的弦长为.解析将直线l的参数方程x=1+t,y=4-2t化为普通方程,得l:2x+y-6=0.圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线的距离d=|4-6|5=255,弦长为24-2552=855.答案855三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10分)已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cos,y=4sin(为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=|-2a|54,解得-25a25.故a的取值范围为-25,25.17.(10分)已知圆的方程为x2+y2-2axcos -2aysin =0(a0).(1)求圆心的轨迹的普通方程;(2)证明圆心的轨迹与圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知得圆的标准方程为(x-acos)2+(y-asin)2=a2(a0),设圆的圆心坐标为(x,y),则x=acos,y=asin(为参数),消去参数得圆心的轨迹的普通方程为x2+y2=a2.(2)证明由方程组x2+y2-2axcos-2aysin=0,x2+y2=a2,得公共弦的方程为2axcos+2aysin=a2,圆x2+y2=a2的圆心到公共弦的距离d=a2(定值).故弦长=2a2-a22=3a(定值).18.(10分)求直线x=2+t,y=3t(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长.解x=2+12(2t)=2+12t,y=32(2t)=32t(t=2t,t为参数),将其代入x2-y2=1,得2+12t2-32t2=1,整理,得t2-4t-6=0,设其两根为t1,t2,则t1+t2=4,t1t2=-6.从而弦长=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=42-4(-6)=40=210.19.(10分)求椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的内接矩形的面积及周长,并求它们的最大值.解设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(acos,bsin)为参数,02,矩形的面积和周长分别为S,L,则S=2acos2bsin=2absin2,当且仅当=4时,Smax=2ab.L=4acos+4bsin=4a2+b2sin(+),其中tan=ab.因为02,所以Lmax=4a2+b2.20.(10分)已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为线段PQ的中点.(1)求点M的轨迹的参数方程;(2)将点M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断点M的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题