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24.1.4 圆周角,第24章 圆,1、复习提问:,(2)圆心角，弧，弦，弦心 距关系定理是什么？,(1)什么是圆心角？,ACB与 AOB 有何异同点？ 你知道ACB这一类的角名字吗？,顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。,圆周角的概念 ：,判断下列各图形中的是不是圆周角, 并说明理由,归纳： 一个角是圆周角的条件：顶点在圆上； 两边都和圆相交.,问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？,探究一：,问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？,(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：,证明:(圆心在圆周角上),结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,C,O,B,A,2.当圆心在圆周角内部时,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,3.当圆心在圆周角外部时,结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,D,定理,在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。,即BAC= BOC,例 在O中,AB是直径, 弦CGAB于D,交BF于E,求证:BE=EC,练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。,2=7,1=4,3=6,5=8,如果A=44,则BOC=_. 如果BOC=44,则A=_. 如果A=35,则BDC=_.,练习,1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？,推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角).反过来也是成立的,即90的圆周角所对的弦是圆的直径,探究二：,O,A,B,C,2. 90的圆周角所对的弦是 否是直径？,问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对的弧一定相等吗？为什么？,A,结论,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等,例题讲解,例.如图O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ACB的平分线交O于点D,求BC,AD,BD的长.,例:已知, O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,因此，在点B射门为好。,实战应用,如图，在足球比赛中，甲、乙两名队 员互相配合向对方球门MN进攻，当 甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ (在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。) 解：,过M、N、B作圆，则点A在圆外,因为AMCN,而MCN O= B,AB,连接M、C,练习:1,如图 AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,500,2. 如图OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC 求证：ABC=BAC,3,如图所示，AB，AC是O的弦，ADBC于D，交O于F，AE与O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由,4,已知：ABC的三个顶点在O上, BAC=50,ABC=47,求AOB,解：有题意知：A、B、C是圆周角， AOB是圆心角 又BAC=50，ABC=47 ACB=180-(AB) =180-(5047) =83, AOB2ACB283166.,5,求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（提示：作出这条边为直径的圆）,O,A,B,C,6,如图，已知圆心角AOB=100,求圆周角ACB、ADB的度数？ 7,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？,C,D,A,B,E,补充例题: 平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,4、在圆中，一条弧所对的圆心角和,圆周角分别为（2x+100）和,(5x30)，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数。,学生练习,已知：如图,AB是