（北京专用）2020届高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2直线、圆的位置关系课件.pptx

9.2 直线、圆的位置关系,高考数学 (北京专用),A组 自主命题北京卷题组,五年高考,1.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得 APB=90,则m的最大值为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4,答案 B 若APB=90,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:(x- 3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|OC|m+1,易知|OC|=5,所以4m6,故m的 最大值为6.选B.,思路分析 “圆C上存在点P,使得APB=90”等价于“圆C与以AB为直径的圆有公共点”, 故根据圆与圆的位置关系可得关于圆心距的不等式,进而可求解.,一题多解 设点P的坐标为(x,y),则 =(x+m,y), =(x-m,y),由APB=90得 =0,即(x+m) (x-m)+y2=0.由此得m= ,即m为P到原点的距离,由于P在圆C上,C的半径为1,圆心(3,4)到 原点的距离为5, 所以m的最大值为6.,2.(2012北京,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为 .,答案 2,解析 如图所示:x2+(y-2)2=4表示以C(0,2)为圆心,2为半径的圆,直线y=x过圆上的点A(2,2). 直线y=x被圆截得的弦为OA,|OA|= =2 .,3.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位 置关系,并证明你的结论.,解析 (1)由题意知,椭圆C的标准方程为 + =1. 所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2. 因此a=2,c= .故椭圆C的离心率e= = . (2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下: 设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00. 因为OAOB,所以 =0,即tx0+2y0=0,解得t=- . 当x0=t时,y0=- ,代入椭圆C的方程,得t= , 故直线AB的方程为x= . 圆心O到直线AB的距离d= . 此时直线AB与圆x2+y2=2相切. 当x0t时,直线AB的方程为y-2= (x-t), 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.,圆心O到直线AB的距离d= . 又 +2 =4,t=- , 故d= = = . 此时直线AB与圆x2+y2=2相切.,评析 本题考查了椭圆的相关知识,直线与圆的位置关系,坐标法等知识;考查数形结合思想、 推理论证能力.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,1.(2018课标,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( ) A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 ,答案 A 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= ,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为 d,则有S= |AB|d.易知|AB|=2 ,dmax= + =3 ,dmin= - = ,所以2S6, 故选A.,方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质求解. (2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u= 的最值问题,可转化为 过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截 距的最值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,2.(2016山东,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 .则圆M与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2 ,所以圆心M到直线x+y=0的距离d= = (a0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r =1,所以|MN|= ,则R-r R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.,思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半径, 根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.,3.(2015安徽,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是 ( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12,答案 D 易知圆心坐标为(1,1),半径r=1, 直线与圆相切, =1,解得b=2或b=12.,评析 本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式.,4.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作 圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.2,答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2, 由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C, 所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1), 于是|AC|2=40, 所以|AB|= = =6. 故选C.,5.(2018课标全国,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .,答案 2,解析 将圆x2+y2+2y-3=0化为标准方程为x2+(y+1)2=4,则圆心坐标为(0,-1),半径r=2, 圆心到直线x-y+1=0的距离d= = , |AB|=2 =2 =2 .,方法归纳 求圆的弦长的常用方法: (1)几何法:l=2 (其中l为圆的弦长,r为圆的半径,d为弦心距); (2)代数法:联立直线与圆的方程,结合根与系数的关系及弦长公式|AB|= |x1-x2|= 或|AB|= |y1-y2|= (k0)求解.,6.(2016课标,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的 面积为 .,答案 4,解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆心到直线x-y+2a=0的 距离d= .由r2=d2+ ,得a2+2= +3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.,评析 本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆的方程和点到直线的距离公式,利用弦长的 一半,圆心到直线的距离及半径构成的直角三角形求解是关键.,7.(2016课标文,15,5分)已知直线l:x- y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线 与x轴交于C,D两点.则|CD|= .,答案 4,解析 圆心(0,0)到直线x- y+6=0的距离d= =3,|AB|=2 =2 ,过C作CEBD于E, 因为直线l的倾斜角为30,所以|CD|= = = =4.,解后反思 本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.,8.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .,答案 (x-1)2+y2=2,解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,易知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1= 0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,9.(2015山东,13,5分)过点P(1, )作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则 = .,答案,解析 如图,易得| |=| |= , 又| |=1,| |=2, 所以APO=30,故APB=60. 所以 =| | |cos 60= = .,10.(2017课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐 标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 =- ,所以不能出现ACBC的情况. (2)证明:证法一:BC的中点坐标为 ,可得BC的中垂线方程为y- =x2 . 由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=- . 联立 得 +mx2+2y-1=0,思路分析 (1)令y=0,将抛物线与x轴交点的横坐标转化为一元二次方程的两根,应用根与系数 的关系,可得直线AC与直线BC的斜率之积为- ,从而说明AC,BC不垂直. (2)证法一:根据圆的性质,求出ABC外接圆的圆心坐标 和外接圆在y轴上截得的弦 长,并证明弦长为定值. 证法二:设ABC的外接圆与y轴的另一个交点为D.由相交弦定理求出DO的长,得出D点坐标, 再求出弦CD的长,从而ABC的外接圆在y轴上截得的弦长为定值.,11.(2015课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.,解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以 1. 解得 k . 所以k的取值范围为 . (5分) (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.,所以x1+x2= ,x1x2= . (7分) =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = +8. 由题设可得 +8=12,解得k=1, 所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分),C组 教师专用题组,1.(2015课标,7,5分)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则ABC外接圆的圆心到原点的距离 为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 在平面直角坐标系xOy中画出ABC,易知ABC是边长为2的正三角形,其外接圆 的圆心为D .因此|OD|= = = .故选B.,2.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .,答案 3,解析 本题考查直线与圆的位置关系. 设A(a,2a),a0,则C , 圆C的方程为 +(y-a)2= +a2, 由 得 =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横 坐标为3.,一题多解 由题意易得BAD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =- , tanABO=-tan(-45)=3, kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由 得xA=3.,3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是 .,答案 -5 ,1,解析 本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交. 解法一:设P(x,y),则由 20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20, 即(x+6)2+(y-3)265, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上,4.(2015重庆,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 .,答案 x+2y-5=0,解析 易知直线OP的斜率为2,则切线斜率为- ,切线方程为y-2=- x(x-1),即x+2y-5=0.,5.(2015湖南,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐 标原点),则r= .,答案 2,解析 过O作OCAB于C,则OC= =1, 在RtAOC中,AOC=60,则r=OA= =2.,6.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且| AB|=2. (1)圆C的 方程为 ; (2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论: = ; - =2; + =2 . 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号),答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2),解析 (1)设圆心C(a,b),半径为r,圆C与x轴相切于点T(1,0),a=1,r=|b|, 又圆C与y轴正半轴交于两点, b0,则b=r. |AB|=2,2=2 ,r= , 故圆C的标准方程为(x-1)2+(y- )2=2. (2)设N(x,y),而A(0, -1),B(0, +1), 则 = = , 又x2+y2=1, = = =( +1)2, = +1,同理, = +1. = ,且 - = +1- =2, + = +1+ = +1+ -1=2 , 故正确结论的序号是.,7.(2014课标,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段 AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知 =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- , 故l的方程为y=- x+ . 又|OM|=|OP|=2 ,O到l的距离为 ,|PM|= ,所以POM的面积为 .,评析 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图 形的几何性质可简化运算.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2017北京海淀一模,2)圆心为(0,1)且与直线y=2相切的圆的方程为 ( ) A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1,答案 C 设圆的方程为x2+(y-1)2=r2(r0). 直线y=2与圆相切,圆心到直线的距离等于半径r. r=1. 故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.,2.(2019北京海淀期末,4)直线y=kx+1被圆x2+y2=2截得的弦长为2,则k值为 ( ) A.0 B. C.1 D.,答案 A 因为圆心坐标为(0,0),半径为 ,直线方程为kx-y+1=0, 所以圆心到直线的距离d= , 因为直线被圆截得的弦长为2, 所以 +12=( )2,可化为 =1,解得k=0.,方法总结 直线与圆的弦长问题,借助于半径、半弦长、圆心到割线的距离满足的勾股定理 来做.,3.(2017北京海淀二模,4)圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x|-1的公共点的个数为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.0,答案 D 圆的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.曲线y=|x|-1= 圆心(0,1)到直线y=x-1(或y=-x-1)的距离d= 1,故公共点的个数为0.故选D.,4.(2019北京西城一模,6)如图,阴影表示的平面区域W是由直线x-y=0和曲线x2+y2=2所围成的. 若点P(x,y)在W内(含边界),则z=4x+3y的最大值和最小值分别为 ( ) A.5 ,-7 B.5 ,-5 C.7,-5 D.7,-7,答案 A 由题意知,直线4x+3y-z=0与W有公共点, 则 ,则|z|5 , 当z=5 时,4x+3y-5 =0与圆相切于点 ,符合题意; 当z=-5 时,4x+3y+5 =0与圆相切于点 ,不符合题意,舍去. 由xy得,当x=y=-1时,z有最小值-7. 综上,故选A.,5.(2019北京海淀新高考调研卷,7)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,则| AB|的最小值为 ( ) A.2 B.2 C.2 D.4,答案 B 圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,圆心C(1,1)到直线y=k(x-2)距离d= ,则有| AB|=2 =2 =2 =2 , 当k0,且k= =1时,|AB|取最小值,此时|AB|=2 ,故选B.,6.(2019北京海淀二模,9)已知直线l1:x-y+1=0与l2:x+ay+3=0平行,则a= ,l1与l2之间的距离 为 .,答案 -1;,解析 由直线l1l2得,直线l2的斜率与直线l1的斜率相等,从而有a=-1,因此l1与l2之间的距离为d = = .,误区警示 两直线平行求距离时,需要把两直线方程的一般式Ax+By+C=0中的A和B化为相同, 即两直线方程化为Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0,再用距离公式d= .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:35分 一、选择题(每小题5分,共10分),1.(2017北京东城二模,6)已知直线x+y=m(m0)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且POQ=120(其 中O为原点),那么m的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图所示. 设圆心到直线的距离为d. 由于POQ=120,OPQ=OQP=30, d= =1sin 30= , 解得m= , 又m0,m= , 故选B.,2.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且OAB为正三角形, 则实数m的值为 ( ) A. B. C. 或- D. 或-,答案 D 如图,过O作OCAB,则C为AB的中点, |BC|= ,所以|OC|= = = , 所以|OC|= = ,所以m= .,二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于 A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为 .,答案 y=x-1,解析 将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,因为弦AB被P平分,故PCAB,则kPCkAB =-1.由P(2,1),C(1,2)得kPC= =-1,可得kAB=1,所以直线l的方程为y=x-1.,4.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则ABM的 面积的最小值为 .,答案 2,解析 圆x2+y2-2x+2y=0可化为(x-1)2+(y+1)2=2,故圆心为(1,-1),半径r= . 因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2 . 要求ABM的面积的最小值,只需求圆上的动点M到直线AB的距离d的最小值, 而圆心(1,-1)到直线AB