（江苏专用）2020版高考数学复习第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的实际应用课件.pptx

4.7 解三角形的实际应用,第四章 三角函数、解三角形,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要为填空题或解答题，中档难度,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,测量中的有关几个术语,ZHISHISHULI,【概念方法微思考】,在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？,提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180. ( ),(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系. ( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P18例1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.,1,2,3,4,5,6,3.P21T3如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向 上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米.,1,2,3,4,5,6,解析 由题图可得PAQ30，BAQ15， 在PAB中，PAB15， 又PBC60，,PQPCCQPBsin asin ,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.,40,在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD, 3x2x2402240xcos 120， 即x220x8000，解得x20(舍去)或x40. 故电视塔的高度为40 m.,1,2,3,4,5,5.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.,130,解析 6070130.,6.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距 海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 测量距离问题,自主演练,1.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.,解析 如图， OMAOtan 4530(m)，,在MON中，由余弦定理得,2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km.,解析 ADCADBCDB60，ACD60，,在BCD中，DBC45，,在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45,解析 由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又PB为公共边，PABPQB，PQPA. 在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900， P，Q两点间的距离为900 m.,3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_ m.,900,求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,题型二 测量高度问题,师生共研,例1 (2018海安测试)如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3 m，在AB正前方36 m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为45. (1)求建筑物CD的高度；,解 如图，作AECD于点E，则AEBD. 所以DEAB18，AEBD36.,所以CE36tanCAE12. 答 建筑物CD的高度为30米.,(2)一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)?,解 设在第n层M处拍摄效果最佳， 则摄影高度为3(n1)米(如图)(1n6，nN). 作MNCD于N，则DN3(n1)， CN303(n1)333n.,tanCMDtan(CMNDMN),所以当n6时，张角CMD最大，拍摄效果最佳. 答 该人在第6层拍摄时效果最好.,(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.,跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔 底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD_.,解析 由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.,题型三 角度问题,师生共研,例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为 千米.,(1)船的航行速度是每小时多少千米？,(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？,所以，山顶位于D处南偏东45的方向.,解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义. (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的_的方向上.,北偏西10,解析 由已知得ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010， 灯塔A位于灯塔B的北偏西10的方向上.,3,课时作业,PART THREE,解析 如图所示， 由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos B 10040021020cos 120700，,1.已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为_ km.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，光源射向地面的光呈圆锥体，且其轴截面的顶角为120，若要求光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为_ m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.某人在C处测得A地和B地距离C地分别为20米和30米，且测得张角ACB120，则A，B两地的距离为_ 米.,解析 由余弦定理得,又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_.,45,又CD50，所以在ACD中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_.,解析 在BCD中，CBD1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC_m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在RtACD中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.,解析 设坡底需加长x m，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则 cos _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，,由ACB30，得cos cos(ACB30),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里.,10,解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而CDCA10， 在RtABC中，得AB5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.,解析 如图， 连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60. 由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得BC28.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求sin 的值.,解 在ABC中，因为AB12，BAC120， BC28，BCA，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m.,45,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为， 则AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，,AA1BB1900，3 600tan tan 2900，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置， 在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近， 若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是_小时.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示， 设舰艇追上渔船的最短时间是t小时， 经过t小时渔船到达B处， 则