（江苏专用）2020版高考数学复习第二章函数2.4幂函数与二次函数课件.pptx

2.4 幂函数与二次函数,第二章 函 数,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.幂函数,ZHISHISHULI,(1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.,yx,(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较,y|y0,x|x0,x|x0,y|y0,y|y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(，0,(0，),0，),(，0),(0，),(1,1),2.二次函数的图象和性质,R,R,【概念方法微思考】,1.二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：yax2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xm)2n(a0)； (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0). 2.已知f(x)ax2bxc(a0)，写出f(x)0恒成立的条件. 提示 a0且0.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是 .( ) (2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (3)函数 是幂函数.( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (5)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,3.P40练习T3已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是_.,(，3,解析 函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a， 由函数在区间(，6)内单调递减可知， 区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，解得a3.,4.幂函数 (aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a_.,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,5,解析 因为a210a23(a5)22，,(aZ)为偶函数，,且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而a4,5,6， 又(a5)22为偶数，所以只能是a5.,1,2,3,4,5,6,5.已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_.,1,函数y2x26x3在1,1上单调递减， ymin2631.,6.设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)”“”或“”),1,2,3,4,5,6,而f(m)0.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,1.已知幂函数 (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为_.,题型一 幂函数的图象和性质,自主演练,1,解析 由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3， 经检验只有n1符合题意.,2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是_.(用“”连接),abcd,解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大， 函数图象越接近x轴，由题图知abcd.,3.若 ，则实数a的取值范围是_.,解析 不等式 等价于a132a0或32aa10或a1032a，,4.已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表，则不等式f(|x|)2的解集是_.,4,4,f(|x|) ，由 2，得|x|4，故4x4.,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,解析 由f(0)3，得c3， 又f(1x)f(1x)， 函数f(x)的图象关于直线x1对称，,题型二 求二次函数的解析式,师生共研,例1 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_.,f(x)x22x3,f(x)x22x3.,(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.,x22x,解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，,得a1，所以f(x)x22x.,求二次函数解析式的方法,跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,x22x1,解析 设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)， 又f(x)ax2bx1，所以a1， 故f(x)x22x1.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.,x24x3,解析 因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立， 所以f(x)图象的对称轴为直线x2. 又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， 所以f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1， 所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.,解析 二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，,题型三 二次函数的图象和性质,多维探究,命题点1 二次函数的图象 例2 设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_.,0,2,所以函数的图象开口向上，且在1,2上单调递增，f(0)f(2)， 则当f(m)f(0)时，有0m2.,解析 当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意.,命题点2 二次函数的单调性 例3 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是_.,3,0,综上，a的取值范围为3,0.,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.,3,解析 由题意知f(x)必为二次函数且a0，,命题点3 二次函数的最值 例4 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.,解 f(x)a(x1)21a. (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，,(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数， 最大值为f(1)1a4，解得a3.,将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值.,解 f(x)(xa)21a2， f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.,解析 设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1， 又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1， 所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立， 即x23x1m0在1,1上恒成立，,命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_.,(，1),所以g(x)ming(1)131m0，所以m1.,(2)函数f(x)a2x3ax2(a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_.,2,即g(t)maxg(a)8恒成立， 所以有a23a28，解得5a2， 又a1，所以1a2，所以a的最大值为2.,解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路的关键都是求函数的最值或值域.,解析 易知函数y(3a)(a6)的两个零点是3，6，,(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_.,1或3,解析 由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1. 又f(x)(xa)2a22a4， 当xR时，f(x)minf(a)a22a41， 即a22a30，解得a3或a1.,(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的 取值范围为_.,思想方法,SIXIANGFANGFA,数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用,研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.,例 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.,解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR， 函数图象的对称轴为x1. 当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示， 函数f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为f(t1)t21； 当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示， 在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；,当t1时，函数图象如图(3)所示， 函数f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为f(t)t22t2.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.幂函数 (mZ)的图象如图所示，则m的值为_.,2,解析 (mZ)的图象与坐标轴没有交点，,m24m0，即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mZ， m24m为偶数，m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.若幂函数 在(0，)上为增函数，则m的值为_.,解析 由题意得m24m41，m26m80， 解得m1.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2019江苏省扬州中学月考)若函数f(x)x22ax1在(，5上单调递减，则实数a的取值范围是_.,5，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)0的解集为_.,x|x4或x0,解析 函数f(x)ax2(b2a)x2b为偶函数，则b2a0， 故f(x)ax24aa(x2)(x2)， 因为函数f(x)在(0，)上单调递增，所以a0. 根据二次函数的性质可知， 不等式f(2x)0的解集为x|2x2或2x4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知函数f(x)x22ax1a，x0,1有最大值2，则a_.,2或1,解析 函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1， 其图象的对称轴方程为xa. 当a0时，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1； 当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，所以a2a12，,当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2. 综上可知，a1或a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是_.,(，2),解析 不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max， 令f(x)x24x2，x(1,4)， 所以f(x)f(4)2，所以a2.,7.已知f(x)x2，g(x) ，h(x)x2，当0x1时，f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,h(x)g(x)f(x),解析 分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，,可知h(x)g(x)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)4x212x40,所以a4，所以f(x)4x212x40.,所以f(2)4(a1)257，即f(2)7.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7，),由于其图象(抛物线)开口向上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则 实数m的取值范围是_.,解析 因为函数图象开口向上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知函数 (kZ)满足f(2)f(3). (1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；,解 f(2)0，解得1k2. kZ，k0或k1. 当k0或k1时，k2k22，f(x)x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 假设存在q0满足题设，由(1)知 g(x)qx2(2q1)x1，x1,2. g(2)1，,解得q2.存在q2满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018江苏省如皋中学考试)已知函数f(x)x2bxc的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，且满足f(1x)f(1x). (1)求f(x)的解析式；,解 因为图象与y轴的交点坐标为(0,1)，所以c1， 因为f(1x)f(1x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以b2， 所以f(x)x22x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为f(x)x22x1(x1)2，,作出函数g(x)的图象如图所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论： b24ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正确的是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,