2019_20学年高中数学第2章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修.pptx

3 函数的单调性,一,二,三,一、函数在区间上增加(减少)的定义 1.,一,二,三,2.,一,二,三,【做一做1】 已知四个函数的图像如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( ),一,二,三,解析:已知函数的图像判断其在定义域内的单调性,应从它的图像是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数. 答案:B,一,二,三,二、单调区间、单调性与单调函数 如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为 单调区间. 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.,一,二,三,【做一做2】 已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间为 .,一,二,三,函数单调区间的写法 (1)求函数的单调区间,必须先看函数的定义域.如果一个函数有多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”). (2)因为函数的单调性反映函数图像的变化趋势,所以在某一点处无法讨论函数的单调性,因此,书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.,一,二,三,三、函数的最大值与最小值 1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1)对于任意xD,都有f(x)M ; (2)存在x0D,使得f(x0)=M . 那么我们称M是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0). 2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1)对于任意xD,都有f(x)M ; (2)存在x0D,使得f(x0)=M . 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0).,一,二,三,【做一做3】 函数y=x-1在区间3,6上的最大值和最小值分别是( ) A.6,3 B.5,2 C.9,3 D.7,4 解析:函数y=x-1在区间3,6上是增加的,则当3x6时, f(3)f(x)f(6),即2y5,所以最大值和最小值分别是5,2. 答案:B,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1) 在其定义域内是增函数. ( ) (2)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)f(2),则y=f(x)是增函数. ( ) (3) 的单调区间是(-,0)(0,+). ( ) (4)若函数y=f(x)在区间2,6上为减少的,则函数y=f(x)的单调减区间为2,6. ( ) (5)函数f(x)在区间m,n上的最大值为f(n),最小值为f(m). ( ) (6)若任意x1,x2A,当x1x2时, ,则y=f(x)在A上是增加的. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),探究一,探究二,探究三,思想方法,函数单调性的判断与证明 【例1】 (1)下列函数在区间(-,0)上为增加的是 ( ),分析:(1)根据单调性定义,并结合函数图像作答; (2)严格按照函数单调性的定义来证明.,探究一,探究二,探究三,思想方法,(1)答案:D (2)解:由题意知x+10,即x-1. 所以f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+).,探究一,探究二,探究三,思想方法,如何判断函数的单调性 (1)判断具体函数的单调性,除了用定义外,还可结合其图像,这在客观题中常用; (2)利用定义法证明函数单调性的步骤是:,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1(1)下列函数中,在区间(-,0)上为增加的,且在区间(0,+)上为减少的函数为( ),(2)证明函数f(x)=-x2+4x+1在区间(-,2上是增加的.,(1)答案:A (2)证明:设x1,x2是区间(-,2上的任意两个实数,且x1x2,因为x10, 所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以f(x)在区间(-,2上是增加的.,探究一,探究二,探究三,思想方法,用图像法求函数的单调区间 【例2】 已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合图像写出函数的单调区间. 分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画出图像求解即可.,由图像可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+); 单调减区间为1,2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.由函数的图像得出单调区间是常用的一种方法,但一定要注意画图的准确性及端点处的处理.若函数的定义域内不含端点,则要写成开区间;若端点在其定义域内,则写成开区间和闭区间均可,但最好加上区间端点. 2.加绝对值的函数图像的处理方法 常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.加绝对值的函数图像的画法也有两种: (1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像. (2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函数的图像.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2画出函数f(x)=-x2+2|x|+3的图像,根据图像指出其单调区间.,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数单调性的简单应用 【例3】(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上是减少的,求实数a的取值范围; (2)求函数 在区间3,4上的最值; (3)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)g(1-2t),求t的取值范围. 分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,画出图形,寻找对称轴与区间的位置关系求解; (2)先利用单调性的定义判断f(x)的单调性,再求最值; (3)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.,解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2, 该二次函数图像的对称轴为x=1-a. f(x)的单调减区间为(-,1-a.f(x)在(-,4上是减少的, 对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合. 1-a4,解得a-3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)在区间3,4上任取两个值x1,x2,且x1x2,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数单调性的简单应用一般表现为以下三个方面: (1)比较大小,利用函数的单调性可以把函数值的大小比较问题转化为自变量的大小比较问题; (2)求函数的值域,根据函数的单调性可求出函数在定义域上的最值,进而求出值域; (3)求解析式中的参数(或其范围),根据函数的单调性的定义及函数的图像可列出参数满足的等式(或不等式),进而可求出参数(或其范围).,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3(1)已知函数f(x)=x2-4ax+1在区间-1,+)上是增加的,则实数a的取值范围是( ),探究一,探究二,探究三,思想方法,解析:(1)f(x)=x2-4ax+1的图像开口向上,对称轴为x=2a. f(x)在区间-1,+)上是增加的,(3)y=x+1在-3,-1上是增加的, 此时ymax=0,ymin=-2; y=-x-1在(-1,4上是减少的, 此时ymin=-5,且y0,无最大值. 故函数最大值为0,最小值为-5. 答案:(1)C (2)D (3)-5 0,探究一,探究二,探究三,思想方法,分类讨论思想在函数的单调性中的应用 【典例】 讨论函数 (-1x1,a0)的单调性. 分析:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用. 解:设x1,x2是(-1,1)上的任意两个自变量,且x1x2.,x1x2+10,x2-x10, 1 2 -10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 此时f(x)在(-1,1)上是减少的; 当a0时,函数f(x)在(-1,1)上是减少的; 当a0时,函数f(x)在(-1,1)上是增加的.,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论. 2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.,1,2,3,4,5,1.函数f(x)=- 的递增区间是( ) A.(-,0) B.(0,+) C.(-,0)(0,+) D.(-,0)和(0,+) 解析:由f