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文档简介

3 希尔伯特空间中的规范正交系,一 规范正交系,主要内容,二 傅里叶系数,三 完全规范正交系,四 Hilbert空间的同构,一 规范正交系,其中 ,并且向量的长度,例1 为 维欧氏空间,则向量集,为 中规范正交系,其中,例2 在空间 中,定义内积为,则三角函数系,正交系的基本性质.,(1)对正交系 中任意有限个向量 ,有,事实上,由于 中向量两两正交,所以,(2)正交系 是 中线性无关子集.,定义2 设 是赋范线性空间,是 中的一列向量, 是一列数,作级数,称 为级数(3)的 项部分和,若存在,使 ,则称级数(3)收敛,并称 为级数的和,记为,若 为 中规范正交系, 是,中有限或可数个向量,且 ,则对每个,自然数 ,由内积连续性,可得,所以,二 傅里叶系数,所以内积空间 中向量 关于规范正交系,的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里,叶系数概念的推广.,傅里叶系数的性质,引理1 设 是内积空间, 是 中规范正,交系,任取 中有限个向量 ,则有,其中 为任意 个数.,证明 因对任意 个数 ,有,令 ,代入上式即得(1).,另一方面,由上式及结论(1)又有,由此知(2)成立.,证明 如果 中只有有限个向量,则由引,理1的(1)立即可得.当 可数时,只要在引理,1的(1)中令 ,则可得(4)式.,(2) 若 ,则 ,故,(3) 对任何 ,级数 收敛.,(2) 前已证明.,证明 因对 ,级数,收敛,所以 .,下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式.,的指标 至多只有可数个.,至多为可数集.,由此可以形式地作级数,其中和式理解成对所有使 的指标,相加,因此Bessel不等式可以写成,三 完全规范正交系,定义4 设 是内积空间 中的规范正交系,如果,则称 是 中的完全规范正交系.,完全规范正交系类似于 维欧式空间中的,标准正交基.,定理3 是Hilbert空间中完全规范正交系,的充要条件为对所有 ,成立Parseval等式.,证明 充分性 设Parseval等式对所有,成立,假设 不完全,由定理2,存在 .,所以对任何 ,有 ,由于对该,有Parseval等式,所以 ,即 ,这与 矛盾.,必要性 设 是 中完全规范正交系,对任何 ,设其非零傅里叶系数为,由引理2,级数 收敛,设其和为 ,则对任何正整数 ,有,又对 中一切使 的向量 ,有,因此 .由 的完全性,得到 ,即 ,所以 ,由此得到,即Parseval等式成立.,所以 ,从而 ,由于 是闭线性子空间,引理3 设 是内积空间 中有限,或可数个线性无关向量,则必有 中规范正交系,使对任何正整数 ,有,证明 令 ,则 ,且,令 ,因为 线性无关,所以 ,且 .,令 ,则 .且 .,显然, .,如果已作了 ,其中 ,并且两两正交,满足,现令,由 线性无关,知 ,如此一直作下去,即可得所要的规范正交系.,是向量 在空间 上的投影.,所以,由 张成的线性
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