2019_20学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版.pptx

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,1.四种命题 (1)原命题与逆命题,(2)原命题与否命题,(3)原命题与逆否命题,名师点拨1.四种命题中原命题具有相对性,任何一个都可以作为原命题,原命题确定后,其逆命题、否命题和逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性. 2.“互为逆否命题”与“逆否命题”是不同的,互为逆否命题指的是两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具有单向性.,2.四种命题间的关系,名师点拨四种命题之间共有互逆、互否、互为逆否三种关系. (1)互逆关系:原命题与逆命题,否命题与逆否命题; (2)互否关系:原命题与否命题,逆命题与逆否命题; (3)互为逆否关系(等价关系):原命题与逆否命题,逆命题与否命题.,【做一做2】 给出以下命题: 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; 若一个四边形的对角互补,则它内接于圆; 正方形的四条边相等; 圆内接四边形的对角互补; 对角不互补的四边形不内接于圆; 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形. 其中互为逆命题的有 ;互为否命题的有 ;互为逆否命题的有 . 解析:命题可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.因此互为逆命题的有和,和;互为否命题的有和,和;互为逆否命题的有和,和. 答案:和,和 和,和 和,和,3.四种命题间的真假关系 (1)四种命题的真假性,有以下四种情况:,(2)四种命题的真假性之间的关系如下: 两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 名师点拨由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化证明其逆否命题.,【做一做3】 (1)命题“若x21,则x1”的否命题是 (填“真”或“假”)命题. (2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”) (3)命题“若ab,则a2b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”). 答案:(1)假 (2)真 (3)若a2b2,则ab 假命题,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)有的命题没有逆命题. ( ) (2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. ( ) (3)互逆命题的真假性一定相反. ( ) (4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一定是偶数. ( ) (5)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,思想方法,写出原命题的其他三种命题 【例1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题.,(2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形; (4)当1x2时,x2-3x+20; (5)若ab=0,则a=0或b=0. 思路点拨:注意分清命题的条件和结论,然后按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.,探究一,探究二,思想方法,(2)逆命题:若a,b都是偶数, 则a+b是偶数. 否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数. 逆否命题:若a,b不都是偶数, 则a+b不是偶数.,探究一,探究二,思想方法,(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高. 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高. (4)逆命题:若x2-3x+20,则1x2. 否命题:若x1或x2, 则x2-3x+20. 逆否命题:若x2-3x+20,则x1或x2. (5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0. 否命题:若ab0,则a0,且b0. 逆否命题:若a0,且b0,则ab0.,探究一,探究二,思想方法,反思感悟1.给出一个命题,写出该命题的其他三种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,则应先改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论. 2.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误. 3.要特别注意一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.,探究一,探究二,思想方法,变式训练1(1)若命题r的否命题为“若 p,则q”,那么原命题r为 . 答案:若p,则 q (2)写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向下,则集合x|ax2+bx+c0,a0”的逆命题、否命题和逆否命题. 解:逆命题:若集合x|ax2+bx+c0,a0, 则抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向下. 否命题:若抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向上, 则集合x|ax2+bx+c0,a0=. 逆否命题:若集合x|ax2+bx+c0,a0)=, 则抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向上.,探究一,探究二,思想方法,四种命题的真假判断 【例2】判断下列各个命题的真假: (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; (2)“对顶角相等”的逆命题; (3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题; (4)若a0或b0,则a+b0. 思路点拨:可以直接根据要求写出每个命题,然后判断真假,也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价性关系进行判断.,探究一,探究二,思想方法,自主解答:(1)法一:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y0,则x,y不互为相反数”,是真命题. 法二:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题. (2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题. 法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题.,探究一,探究二,思想方法,(3)法一:“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题. 法二:由于命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,所以“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是真命题. (4)法一:取a=4,b=-6,满足a0或b0,但这时a+b0不成立,故原命题是假命题. 法二:命题“若a0或b0,则a+b0”的逆否命题是“若a+b0,则a0,且b0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.,探究一,探究二,思想方法,反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法: (1)分清该命题的条件与结论,直接对该命题的真假进行判断; (2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常都是通过判断其逆否命题的真假来判断.,探究一,探究二,思想方法,变式训练2(1)命题“个位数字为5的整数能被5整除”是 (填“真”或“假”)命题,它的逆命题是 (填“真”或“假”)命题. (2)下列说法正确的是 . “若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题是假命题; “正多边形都相似”的逆命题是真命题; “若 是有理数,则x是无理数”的逆否命题是真命题.,探究一,探究二,思想方法,解析:(1)显然原命题为真命题;而当一个整数能被5整除时,其末尾数字不一定为5,也可以为0,故逆命题是假命题. (2)由于“若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的逆命题为“若x,y全为零,则x2+y2=0”,是真命题,所以“若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题也是真命题,故错误;相似的多边形不一定是正多边形,因此“正多边形都相似”的逆命题是假命题,故错误;由于“若 是有理数,则x是无理数”是真命题,则其逆否命题也是真命题,故正确. 答案:(1)真 假 (2),探究一,探究二,思想方法,等价性命题与“正难则反” 思想的应用 【典例】 若实数m,n满足m+n3,求证:m2+n24. 【审题视角】 将要证明的问题看做一个命题,只需证明这个命题为真命题即可,而当证明这个命题本身的真假比较困难时,可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题. 自主解答:构造命题:若m+n3,则m2+n24. 该命题的逆否命题是:若m2+n2=4,则m+n3,以下证明该逆否命题为真命题.,探究一,探究二,思想方法,方法点睛“正难则反”思想的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.,探究一,探究二,思想方法,跟踪训练求证:当a2+b2=c2时,a,b,c不可能都是奇数. 证明:构造命题:若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数. 该命题的逆否命题是:若a,b,c都是奇数,则a2+b2c2.下面证明该逆否命题是真命题. 由于a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,于是a2+b2必为偶数,而c2为奇数,所以a2+b2c2,故逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题.,1.命题“若a+b=6,则ab9”的否命题是( ) A.若a+b=6,则ab9 B.若ab9,则a+b6 C.若a+b6,则ab9 D.若a+b6,则ab9 答案:C 2.已知命题s的逆命题是:“若p,则q”,则命题s的否命题是( ) A.若q,则p B.若q,则p C.若q,则p D.若p,则q 解析:由已知得原命题s是“若q,则p”,则s的否命题是“若q,则p”. 答案:B 3.在命题“若a=5,则a2=25”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,是假命题的是( ) A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题 C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题 解析:因为原命题为真命题,逆命题为假命题,所以其逆否命题为真命题,否命题为假命题. 答案:D,4.下列命题中,真命题的个数