幂级数及其收敛性.ppt

1,power series,幂级数及其收敛性,2,1.定义,如下形式的函数项级数,称为,的幂级数,的幂级数.,定义,称为,3,2.收敛半径和收敛域,级数,级数的收敛域,4,证,定理1,（阿贝尔第一定理）,则它在满足,不等式,绝对收敛;,发散.,收敛,发散,如果级数,则它在满足不等式,的一切 x 处,如果级数,的一切 x 处,从而数列,有界,即有常数 M 0,使得,5,由 (1) 结论,这与所设矛盾.,使级数收敛,则级数,时应收敛,但有一点 x1 适合,6,推论,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确,幂级数,绝对收敛;,幂级数,发散.,幂级数,可能收敛也可能发散.,几何说明,收敛区域,如果幂级数,不是仅在 x = 0 一点收敛,定的正数 R 存在, 它具有下列性质:,7,正数 R 称为幂级数的,规定,如何求幂级数的收敛半径?,定义,收敛半径.,收敛区间.,(1) 幂级数只在 x = 0 处收敛,收敛区间,(2) 幂级数对一切 x 都收敛,收敛区间,收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域.,8,证,且,定理2,设幂级数,的所有系数,由正项级数的比值判别法,9,收敛半径,绝对收敛;,发散,从而,发散.,比值判别法,则,10,收敛,从而级数,绝对收敛.,收敛半径,发散.,收敛半径,则,11,例 求下列幂级数的收敛半径与收敛域:,解,12,收敛.,调和级数, 发散.,收敛域为,解,收敛域,收敛半径,13,解,14,级数为正项级数,因为,所以,对应的数项级数也发散.,当 x = 4 时,故收敛域为,15,发散;,收敛.,故收敛域为,解,还有别的方法吗,?,(0,1.,即,亦即,时原级数收敛.,16,解,是缺偶次幂的幂级数.,例 求函数项级数 的收敛域.,去掉第一项,所以,去掉第一项, 级数处处收敛.,定义域为,因为第一项 lnx 的,所以, 原级数的收敛域是,比值判别法,17,例,设幂级数,的收敛半径分别为,则幂级数,的收敛半径为( ),分析,18,讨论幂级数 的收敛域.,解,此级数是缺项的幂级数,作变换,令,级数变为,它的收敛半径,当 y = 3时,级数为,发散.,不满足定理 2 的条件.,19,故 y(0) 的幂级数收敛域为,因此, 原幂级数收敛域为,收敛半径,即,20,思考,确定函数项级数 的收敛域.,解,对任意固定的x,即,用比较审敛法的极限形式:,而级数 是p = x的p 级数,所以,当n充分大时,有,发散.,故级数的收敛域为,收敛.,21,解,练习,22,处处收敛.,收敛,发散,23,1. 代数运算性质,(1) 加减法,幂级数的性质,的收敛半径各为R1和R2 ,24,(2) 乘法,(其中,(3) 除法,(相除后的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多),25,2.和函数的分析运算性质,定理3（阿贝尔第二定理）,内闭一致收敛,证,26,则其和函数,的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续.,如果幂级数在收敛区间,证,27,则其和函数,28,则其和函数,29,解,(1) 求收敛域,发散;,收敛.,故级数的求收敛域为,例,收敛半径,30,(2) 求和函数,31,或者,32,例 求幂级数 的和函数.,解,容易知道级数的收敛域,设和函数为 s(x), 即,则有,33,因此,此外, 显然有,综上,34,解,例,35,积分,得,36,37,解,容易知道,例,38,练习,求 的收敛域与和函数.,提示,解,令,收敛域为,当 时,收敛,当 时,收敛,39,又设,(逐项求导即可得),和函数为,(逐项求导即可得),设,设,40,小结,再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数.,求和函数的一般过程是:,首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可,逐项求导(积分),求得新的幂级数和函数;,最后,41,常用已知和函数的幂级数,42,幂级数及其收敛性,收敛半径R,幂级数的运算,代数、分析运算性质,函数项级数的概念,四、小结,收敛点、收敛域、和函数,一般求三种类型幂级数的收敛半径,注意它们求法,掌握幂级数的和函数的规律,43,思考题,都是幂级数.,是非题,非,幂级数的形式为,含有