Ch2轴向拉压4-5节-2003《材料力学》课件

材 料 力 学,第二章 轴向拉伸和压缩 (Ch2. Axial Tension and Compression),拉(压)杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),变形Deformation: Dl = l1- l 横向Lateral变形: Dd = d1- d 线应变Linear Strain:1,轴向应变Axial Strain:=Dl/l=const 2,横向应变Lateral Strain: e= Dd / d 显然: e e 0 受力变形关系: Dl = Nl / EA (or:=Ee ; p) 其中: E-弹性模量Elastic Modulus; EA-杆的轴向刚度Axial Rigidity of Bar p-比例极限Proportional Limit 纵横向应变关系: e = -me (p) 其中: m -横向变形系数(or: 泊松比Poissons Ratio),拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),例题2-5 求例题2-4中所示薄壁圆环在内压力p=2MPa作用下的径向应变和圆环直径的改变量。已知材料的弹性模量E=210GPa。,解:在例题2-4中已经求出圆环在任一横截面上的正应力s=40MPa，若正应力不超过材料的比例极限，则可按公式(2-6)算出沿正应力s方向(即沿圆周方向)的线应变e为,圆环的周向应变e等于其径向应变ed，因为,根据上式即可算出圆环在内压力p作用下的直径(d=222mm)增大量为,拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),例:图示阶梯形钢杆，AB段和CD段的横截面面积相等A1500mm2，BC段横截面积A2300mm2。已知材料的弹性模量E=200GPa。 试求:1,各杆段的应力。 2,端的位移。 解:1,绘轴力图如图(b)所示。,2,求各段应力:,3,计算端位移: (端位移D即为杆的总变形，应为各段变形的代数和)。即:,计算结果为负，说明端发生向左的位移。,拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),例:某矿井升降机如图(a)所示，因吊索很长，其自重引起的应力和变形应予以考虑。设钢索长为l,横截面面积为,材料容重为g，弹性模量为E。试求:钢索在自重和起吊载荷P作用下产生的应力和变形(设起吊是匀速的)。,的内力为Nx=R0-gAx=gA(l-x)+P 故:maxgAl+P)。索为等截面的,其x截面上的应力为 sx=Nx/A=g(l-x)+P/A。最大应力发生在索的最上端横截面上,其值为 smax=Nmax/A=gl+P/A,解:1,计算应力:(索上端支反力 R0=P+gA l 。用截面法求得x截面,2,计算变形:,式中=gl为杆的总重量。 上式表明: 杆的重量引起的伸长部分，相当于不考虑自重，而在杆的下端作用一半重量的集中荷载引起的伸长。,拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),桁架节点位移: 例: 图(a)所示托架,杆1和杆2均为钢杆,弹性模量E=200GPa,横截面面积分别为A1=200mm2,A2=250mm2,荷载P=10kN,l1=2m。试求节点的位移。,解:1,求各杆轴力:(取节点A为研究对象,画受力图如图(b),由平衡条件求得两杆轴力分别为),（拉）,（压）,2,求各杆的变形:,作业:2-12, 2-13,2-15,拉（压）杆的变形(Deformation of Axial Forced Bar)胡克定律(Hookes Law),3,求节点的位移: 由于两杆的变形,节点A位移至A点,A点是以B为圆心,(l1Dl1)为半径作圆弧与以C为圆心,(l2Dl2)为半径作圆弧的交点。由于变形相对于杆的原长很微小,这种作图方法和计算A点位移很不方便,但正因为变形微小,可将上述两圆弧用过A1和A2两点并分别垂直于杆和杆的两垂线代替(图(c)。此图称为节点,A的位移图。由节点A的位移图可知,节点A的水平位移dAH和垂直位移dAV分别为,节点的总位移为:,25 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar,弹性体在受力后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。例如钟表的发条(弹性体)被拧紧(发生变形)以后,在它放松的过程中将带动齿轮系使指针转动,这样,发条就作了功。这说明拧紧了的发条具有作功的本领,这是因为发条在拧紧状态下积蓄有能量。为了获得计算这种能量的依据,下面研究弹性体在受外力作用而变形的过程中,外力所作的功与弹性体内所积蓄的能量在数量上的关系。 现以受重力作用且仅发生弹性变形的拉杆为例,利用能量守恒原理来找出上述关系。设杆(图2-11)的上端固定,在其下端的小盘上逐渐增加重量。每加一点重量,杆将相应地有一点伸长,已在盘上的重物也相应地下沉,因而重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的,故在加载过程中,可认为杆没有动能改变。按能量守恒原理,略去其它微小的能量损耗不计,重物失去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形是弹性变形,故在卸除荷载以后,这种能量又随变形的消失而全部转换为其它形式的能量。,通常将这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为弹性应变能。 在所讨论的情况下,应变能就等于重物所失去的位能。,External Work in Elastic Range:,25 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar,韧性模量(Modulus of Toughness) :,轴向变形下的外力功 Work of External Forced in Axial Deformation:,dWdTPdDl ,故:,弹能模量: (Modulus of Resilience),25 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar,( 是使试件断裂所需要的比功，故tf越大此材料抵抗冲击和突加荷载的可靠性也越大)。,变形能Strain Energy and比能Energy Density (Strain Energy per Unit Volume):,外力作功(T)引起构件变形产生内力(s e)将外力功(T)转化为内能(U)-因是构件变形引起，故称为变形能。,当(sse)时称为弹性变形能,它为可完全恢复的内能,故:,比能(杆件单位体积内储存的变形能):,(s se时),u的量纲(力长度/长度3),常用单位：J/m3 。 材料进入塑性阶段后，有:,(其中: ),注:U 和 u 恒为正。,25 拉(压)杆内的应变能 Strain Energy of Axial Forced Bar,例: 图(a)所示架，杆1和杆2均为钢杆，弹性模量E=200GPa，横截面面积分别 为A1=200mm2，A2=2