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数学史 南开大学《数学史》讲义 全套PPT课件（含10章·16讲） 南开大学 讲义 全套 ppt 课件 10 16

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内容简介：

第一章 数学的内涵,第一讲,1. 数学是什么,数学是什么？数学领域有多宽，数学家都在干些什么？对于正在跨入或希望跨入数学领域的同学，对于已经学过十几门甚至几十门数学课的青年读者，有关数学类的所谓宏观问题，也许积压得不少了吧。,首先请听听一个苦心求索数学奥秘一生终不得要领者的一席概叹：,(1)数学是一座高深莫测、灿烂晶莹的宝山 (2)数学是上内部剧烈演化的反应堆 (3)数学是一只童话中的大象 (4)数学是李诗中的庐山 数学是经验，数学又不是经验；数学是猜测，数学又不是猜测；数学是哲学，数学又不是哲学。难道真如黑格尔说：“数学只是上帝用来描述自然的符号”？不，数学就是数学。 是的，数学就是数学。数学是科学集合中的一元，但又不只是一元。因此，数学家应该有机会站到数学反应堆之外，高翔于庐山之上，鸟瞰这座宝山及道路网。哪怕只能作作姿态也好。,2. 关于数学的定义,但凡一桩事物（抽象的或存在的），在人脑里必有一个反映，这个反映出的形象叫做该事物的概念。人们通常用比喻、解释、描述的的语言来叙述这个概念。 既然事物通过脑而形成概念，那末同一事物经不同的人反映出来，难免产生“概念”上的差异，这常常就是生活中产生的矛盾的原因之一，也是檔契约中必须推敲字句的原因所在。,数学是个精确的学科。自然，它用到的概念都需要准确化。定义即起着这一作用。 用准确而简练的的语言来描述或命定一个概念叫做定义，或说定义是是概念的确切化表述。,（1）描述性定义,顾名思义，这就是用精练而确切的语言对一桩客观事物进行的表述。它的主要目的是便于别人对该事物的了解，便于交流。自然也有着明确概念、消除模糊认识的目的。 描述性定义针对的事物是事先存在的，不随人为定义而转移，因此被定义的客观事物就是检验其定义是否确切的唯一准绳。这里只能让定义去附和事物，而不存在让事物去附和定义的问题。因而，描述性定义存在着好与坏，确切与否的问题。,（2）公理性定义,这是一种用精练而准确的语言表述出来的、人为给定的概念，亦即它可以不是或不完全是客观存在的事物，而仅仅是一种语言表述。这时的检验标准就只能是定义中简练的“语言”，而不再是所述那件事物了。因此公理性定义给出的概念总是准确的（是否有意义是另一回事），但也是“武断”的，它一旦被给定，就是标准，就是准则，就是遵守、服从，因而叫它做“分理”性定义。,描述性定义与公理性定义间一个重要区别是，描述性定义需要符合客观事物，而客观事物常常在变，因而描述定义是可变的，或说“是时间的函数” ；相对来说，公理性定义人有主观性，一经给定，其语言和描述就不在改动，一旦改变了就地引起一整套理论的相应改变，带来麻烦。 总之，描述性定义具有非唯一性，公理性定义则具有不变性。,一位美国数学家曾统计过，自古以来“数学”有过两百多种定义。 近几十年来较为通行的定义则是“数学是研究现实世界中空间形式与数量关系的科学”（辞海）。这也来自恩格斯的提法（反社林论），特别是，它在世界上也得到了广泛的承认。 为什么对数学会有如此众多的定义？哪一种定义最准确呢？一言难尽。 这不仅因为数学定义是描述性的，更因为数学是个聚烈发展变化着的、十分复杂的、涉及领域特宽的科学。 总之，数学定义之所以越来越多，大体上出自这两个原因-时变性和复杂性。,既然数学内容是时间的函数，对它的描述性定义就应该体现时、空的崭新性，也就是不仅要体现数学的基本特征（本质），也要体现数学的新面貌。 现代的数学分为应用数学和纯粹数学两大类。特别地，20世纪可叫做应用数学世纪，应用数学的最大特征是到大自然中去提取数学模型；纯数学则体现为越来越多的、数理逻辑形式语言的引入，但我们不能不看到，这些特征在现行的“数与形”的定义方式上，并未得到充分地体现。至于用“量”的定义法，会因需要赋予“量”的涵义太多而使其过于含蓄，失去其定义的易交流性。 据此，我们数学的一个定义： 能对大自然中任意对象予以符号化、量化和形式语言化，从而进行逻辑演算，以揭示大自然规律的科学叫数学。,定义中提到： （1）“大自然中任一对象”； （2）“符号化”； （3）形式语言（即来自逻辑的或自然定律的关系式） （4）“逻辑演算” 我们说，有了这四条就能使得数学真正成为“整理宇宙秩序的工具”了，此即定义中“揭示自然规律”云。 具体说，满足了这四条的对象不仅能唯一地描述“数学”，而且能体现现代数学具有更多逻辑语言的特征。也能包含应用数学具有建模、解模过程的特征。 我们不能为数学定义而定义数学，我们是为了深刻认识、理解数学的本质、内涵，使数学问题得以简单化而定义数学。,第五章 数学之根,第七讲,水有源、树有根，数学这棵大榕树主干粗壮，繁枝茂叶。那么它的根系怎样？人说根深才能叶茂，现在已知叶茂了是否必根深？这就是我们本章关心的问题。 根不等于源，源是追溯时间之初起，根是录找结构之始端，源总是简单涓细的，根却是深刻本质的。 对于数学这么个复杂的庞大体系，要穷其寻根活动的始点和终点是很难的，但我们可以肯定，它的寻根“热”是在19世纪后半叶至20世纪前30年之间，仅仅几十年的努力已为后人描绘了数学的一个扎根深深、基础牢牢的宏伟根系。 正如我们对“树学之树”不可能攀上每一个枝梢一样，这里“树学之根”也无法通到每个终端。下面仅就几条主根作作简述。,1. 实数连续统,有人诙谐地说，“医学发展至今，连区区感冒也消灭不了，数学发展至今，连个简单实数也弄不清”，真是这样吗？ 事实上，不管过去数学怎么复杂，从本质上说，它总是建立在实数这块基石上的。 从某种意义上说，数学史就是人类对实数的认识发展史，试想想，第一、二次数学危机不就直接来自对实数认识的模糊性吗？至于第三次数学危机的实质，仍然在于对实数认识的深入性（集合论观点）。,经过几千年的摸索，人类终于沿着自然数整数有理数无理数的途径走过来了，如果说直到有理数，“数”对人类尚属直观的话，那么无理数即是人类在实数认识上遇到的第一次抽象，也是第一个难关。 尽管在毕达哥拉斯学派存在的期间（公元前3世纪），人们已经知道了无理数的存在，但横加给它的“无理”大帽却迟至19世纪后半叶才失去其涵义而仅作为历史纪念被留下来。在这两千多年的历史上，无理数一直以它的“无理”成为数学界以及哲学界急诊的焦点之一，直至19世纪的克洛内克和20世纪的布劳威尔都还不承认无理数，名家牛顿和庞卡也曾参加过无理数的争辩。这些实事不能不说明，人类在认识实数过程中的第一次抽象是何等的难以接受。,原来无理数不仅测不出来也算不出来，比如根号2究竟等于什么，连最快电子计算机、最新计算方法也把它没奈何。再问最靠近2的实数是什么？永远不可能像苹果一样地摆到人们面前来。 无数这种抽象数在当初的确切不太容易被接受的。今天总算沿着以下几个脚印走过来了。,1）无穷认识实数的必备概念 今天的数学家无不深谙“无穷”概念在数学中的重要地位，从这个意义上，他们一致赞成希尔伯特对数学下的一种定义：“数学是处理无穷的科学”。 须知数学认识无穷是付出了历史代价的，本来在芝诺悖论之初人们就已经意识到了无穷的深奥和神秘性，但当时人们犯了个极大的错误，认为产生芝诺悖论的祸根是“无穷”，对此采取了回避法，希望把这一“祸根”永远关在潘多拉的盒子里以求万事大吉，却没有看到“无穷”性是大自然的特征之一，只可向它迎面走去，不可迂回躲闪，为了认识“无穷”在数学中的地位，这里只要举出几条大自然的无穷性在数学上的表现即可。,若问一条直线的中点在哪里，答案五花八门，这说明了什么？正在于无穷性的奥妙。我们说“没有中点”是正确的，因为直线长度无穷，而无穷不是一个确定量，只是一种状态，二分之无穷大仍等于无穷大。 无穷嵌套。在笛卡尔坐标系下建立起实数轴之后，实数被直观地表现为与直线上几何点的一一对应了，但我们更要看到实轴上任一有限段上几何点，与整个实轴上的几何点也是一一对应的。人说“方寸嵌宇宙，滴水现太阳”，“天地大世界，人生小宇宙”，原来大自然中的嵌套现象是客观存在的。胎儿对母体的相似，原子对宇宙的相似等等都是自然嵌套现现象，可见数学上实现的无穷嵌套在自然界是有广泛背景的。,无穷可分性。古人曰：“一尺之杵，日取其半，万世不竭矣”，它不仅是一个数学结论，也是物质的无穷可分结论，正是由于无穷可分性，我们在实轴是否可认识透的问题是悲观论者，正是由于无穷可分性，在目前争论中我们赞成“微观自然科学是无止境的”观点，即最基本的粒子是不存在的。 无穷的级别。皆知，整数仅仅是实数的一个子集，却它里面再分出的素数子集，其奥妙至今还是数论的发展动力之一，这里关键是什么？就在于一个“无穷性”。又从代数角度分出的代数、超越数也是无穷子集，其奥妙可以说人类才刚刚开始对它的认识，特别是后者，直到最近也只知道等少数超越数。再则，即使用0，1两个元素构成的无穷序列集，其奥妙也是无穷的，因为它可以构成“符号动力系统”的整个内容，即可产生各种周期轨道，又可产生种种混沌状态。 总之，数学似乎到处遇到无穷，一遇上无穷似乎就有无穷奥秘待探。这说明无穷这个概念本身也应该是个内容丰富有待深化的。,2）极限论用有限刻画无限的算术化 生活中人们是怎样用有限去刻划无限的呢？这就是周期循环法，比如用一只尺子可以（原则是）无限地度量长度；钟表用它的指针可无限地度量时间，生物用他的寿命可世代地延续；汽车用它的有限轮周可无限的跑路程也许这些思想借鉴于日月天象季候以它的周期无限度量自然的原理吧。 设汽车轮周长2米，则轮上任一点在路上留下的轨迹是每隔两米一个“脚印”。那么问，任意长距离之后其脚印的间隔又是多少？都知道答案仍然是2米，但又问，这个答案是怎么来的？这就不一定说得清楚了，实际上是凭着“脚印”分布的“规律”和趋势而“猜”出来的。,总之，我们看到了，极限论是一种用有限去刻划无穷且使之算术化了的成功理论。同时看到，不仅极限论得以算术化，而且使得数学分析也得以算术化 。 数学分析之所以有今天这样理论深刻、应用广泛、使用方便，成为数学主流的现实，正在于它的“算术化”。此外还要看到，“无穷”概念中的“无穷小”概念是最为棘手的，可它正是在极限概念之下被谨慎而严格的作为推广概念而得到的极限为0的变量叫做无穷小量。这再次表明极限 是认识实数无穷性的得力工具。,（2）对实数结构的几种描述 1）狄特金分割法 今天知道实数=有理数+无理数。有理数自古已为人类接受，所以对实数的承认早就归结为对无理数的承认上了。对此，狄特金采用几何和集合的观点将有理数集合进行一种“分割”，自然地得到了“无理数”概念。这是用构造论思想描述实数的一个有名的成果。 2) 康妥序列法 康妥也提出过一种从有理数自然描绘出无理数的方法，这就是用有理数组成的收敛数列来表出无理数的方法，用今天的话来说即很明白了：一切实数总可表为十进小数，而易知有限十进小数和无穷循环小数对应着有理数类，那么还剩下一类无穷不循环小数，如果它们也对应着一类数（收敛），则自然属无理数了，因此检验的主式就是看其是否收敛了,3) 势 这也是康妥提出来的，它来自表征有限集合元素个数概念的推广（注意与几何的“度量”区别）。这也是对实数结构特征的一种描述，正是这一概念，在集合论中引出了至今尚未完全解决的深奥问题，如势的连续性问题，连续统假说问题等都是集合论中悬而未决的问题。 4) 代数数与超越数 这也是认识实数结构的一个方面，但也与其它任何认识方式一样，都遇到很大的障碍，以致进展缓慢，不过也因此使得超越数论成为富有吸引力的一个研究方向。,(3) 非标准分析 我们说过，“数”的特点是离散“点”式的。也许正是利用具有离散性的“数”去描述作为连续的实轴，才遭致如此多的困难，其实，早在19世纪末庞卡莱的拓扑学思想和康托的集合论思想。已经是有可能用“集合元”代替数“点”的一种思想突破了；此外，再追溯到古希腊（德谟克里特）的一种“单子”思想，也属一种非“数点”式的数学思想。见奇的是这一古典思想在20世纪60年代才得放光彩，产生了描述实数的一种新方法，并进而成一套全新的分析理论，这就是有名的非标准分析。 我们把建立在极限理论上的数学分析叫做标准分析，标准分析的论域是实轴。,（4）集合论 康托是个善于思维的人，他说“数学中提问的艺术比起解法来更为重要”。的确，在他所处的认识实数亟待深入的那个数学寻根时期，他提出了不少开创性的、同时也是颇具挑战性的问题，使得数学在这一时期对实数的认识大大地跨进了一步。比如已经提到的用有理数列收敛性和“势”的概念来描述无理数等。正是对无穷小概念深化和对实数结构认识的深化需要，促进了康托的集合论问世，集合概念的诞生是数学史上又一桩革命性大事件，也正是康托的伟大之处。,1）集合的定义 尽管自19世纪末以来人们一直在努力探索，希望给出一个集合的公理性定义，以使得整个集合论建立在这个定义之下，特别在20世纪30年代已后，人们曾作过更大的努力，但至今未能如愿。这不能不说明集合概念之深刻性。 集合论在今天已成为数学中通有的基础，它即是一门独立学科，又在一切学科、包括数理逻辑中起着重要作用。甚至于实变函数、拓朴学、模糊数学等还是直接建立在它的基础上的。 但不管怎样，当初康托提出集合概念的用意主要还是在于认识实数的无穷性。,2）无穷集的可数性 康托认识实数无穷性的第一步是对各类实数子集进行对比，从数学角度讲，即在两两“序集”间引进一种一一对应的映射关系，从而得到了一个“可数集”概念，这是一大贡献。据此，康妥证明了整数集、有理数集、代数数集都是“可数集”。因为它们都能与自然数集建立一一对应关系。 3）无穷集的势 有无穷可数集，是否有无穷不可数集？为了逐步深入地认识实数的这些特性，康托推广了计量有限集元素个数的思想，在元穷集中提出了一个“势”的概念，由此得到无穷集与无穷集之间可能有的差别，不仅表现在一般极限论中陈述的“无穷的阶”上，而且也表现在无穷集的“层次性”上。这就是根据康托“势”概念，把一切可数集归于同一个“层次”，叫做同势集。,4）康妥三分集 康托还构造了一个奇特的实数集康妥三分集，更能表现出实数集的一些奥妙。如今已也成为集合论、动力系统、分维几何等越来越多领域的典型范例 。 5）集合论之更大贡献 众所周知，康托的一生是不幸的，他的事业和理论一直受到学阀克洛的压制，也受到神学家、宗教界的反对，致使他早早地患上了忧郁症，且提出的问题一度无人问津，只有自己去研究，事实上，他提出的问题除了被自己解决的外，剩下的至今也未被解决，可见康氏之功底。,我们认为康妥的集合论为数学作出了三大贡献： 集合论加深了对实数的认识； 集合论引出了数学第三次危机，促进了数学自身的变革； 集合论拓广了数学的统一基础。,2. 公理化体系,不难理解，公理化思想也是作为数学学科结构的寻根尝试而提出来的，即使欧几里德亦然。本世纪初，它既成了希尔伯特为首的形式主义数学的核心，也成了罗素为代表的逻辑主义的主要手段，因此公理化可说是基础数学各分支中具有分共性的工具，是现代数学中一咱重要的建树方式。 公理化结构首先是在几何学中得到完善的。上世纪末，随着数学寻根热的掀起，希尔伯特在前人对欧几里德的平面和立体几何公理体系提出系列批评的基础上，进一步经过严密审查后，提出了包括21个公理的公理体系，代替了欧几里德的五条公理、五条公设共十条公理系统，从而弥补了几何学原本中一系列错误和漏洞。这些都已完全地表述于上世纪末（1899年）出版的几何学原理中。,当初，希尔伯特设想的公理是想以一套完整的公理体系来统率整个数学，企图使数学在一个有限公理系统内变得随心所欲，大有为数学作最后总结之势，可谓宏图大志矣。殊不知早在数学原理一、二集出版之前的1930年，哥德尔的第一、二不完全性定理就已否定性地回答了这一“希尔伯特规划”了。事实上，稍后即已知道，比如数论或一般枚举数学就被证明是不可公理化的，又如数值数学等直接以实际为背景模型的学科也是非分公理化的。 正是哥德尔定理力挽狂澜，使数学史回避了一次弯路，也使人们的脑子变得更冷静了，人们认识到公理化方法不是数学中的万用结构，对公理化的研究必须谨慎，从此，公理化研究转入了正轨，30年代以后公理化方法主要在数理逻辑和抽象数学中得到更深的研究和发展。,总之，可以说从公理化角度也可将数学分为两大类，一类是可公理化学科，另一类是非公理公学科，对于这后一大类又可分作两类：一类是枚举性数学，如数论、组合数学等，排列组合是它们的典型枚举方法，另一类是应用性强的学科，如实用运筹学、统计学、数值数学等等。 为什么数学中要引入公理化方法？为什么引入了公理化方法就算这门学科有了根基？这里有个哲学问题，从静态观点看，大自然一切事物都具有无穷层次结构；从动态观点看，相对性是大自然的普遍规律。实际上我们平常的生活、意识、科研等一切活动都在，且仅在事物的有限层次上进行。只因一般事物中，比如语言交流，大家已“习惯”于一个共同的认识层次和深度，未能觉察到无穷层次的存在，也未能觉查到未加限定的层次上造成的差异罢了，也许我们可以把这种现象叫做“习惯模糊度”。正是习惯模糊度掩盖住了事物的层次本质。,可是在数学上就不容许这种“习惯模糊”了。数学是个精确的学科，所谓“精确”就在于： 数学推理得到的结论是严格的 这里“严格”意即，在公认的论理方法下（数学即形式逻辑下），由给定的条件只能得到必然的结论。强调了“结论”对于“论理方法”和“条件”的相对性，毫不含糊。 数学算得的数值是确切的 这里“确切”意即，相对于已提出的“数学模型”而言。这时，提数学模型的误差不计在内。另外，即使算得的结果有误差（近似值），也能估计出误差的大小。从而说明数学的精确性。,引入公理系统来建立数学分支的方法叫做公理化方法。上述实事表明，我们在理解分理系统时不能只看到它的一组公理条例，还要同时看到它的基本术语，否则是不完备的。 基本术语在日常生活中仅只是一些不值一提的习惯用语，却在数学中就成了举足轻重不可模糊的基础了。数学就是要把这些一定层次上的事实作为基本“砖块”。不容再分、不容再变，借以构筑自己完整精确的宝塔，逻辑上说，这样的叙述就算是踏实、有根基的了，绝对的根基是不存在的。,第二章 数学简史,第三讲,2. 数学家创造的数学史,前苏联科学院院土斯.瓦维洛夫说：“科学史不能只限于记述科学思想发展，更应记载真实的人，描述其特点、才能、贡献”。 是的，数学史的考贝不就是一代代数学家们的生平片断剪辑而成的吗？这里，我们将依历史先后列出一批有代表性的数学精英，并归并成图表，即可缅怀先烈，又可从一个角度略览数学史。,（1）欧几里德,这是个知名又不知其生卒年月的数学家，只考证到他大约处于公元前43世纪，大约是希腊人，他的不朽著作是几何原本。鉴于第一次数学危机的教训，他抛弃了直观，而成为创造了公理结构的先躯，该书自1482年出版，直至希尔伯特（19世纪末），一直被广泛地引用和研究。,（2）阿基米得（公元前287公元前212年）,名言“给我一个支撑点，我就能移动地球”。他在工作和几可上有丰富的贡献。阿基米得螺线、阿基料德原理是人们最熟知的。当入叫侵的罗马兵来到面前时，他还沉浸在他的沙盘图案中，竟因叫土兵离图盘远一点而遭无知的土兵一枪刺死。,（3）笛卡尔（公元15961650）,主要贡献在于建立了笛卡尔坐标系，创立了解析几何学，此外，他还是一个哲学派笛卡尔学派的代表人物，以冥思录为其思想典型，提出“我思必我在”，主张可怀疑一切，但要承认“精神实体”象“物质实体”一样的存在。,（4 ）费尔马（法，公元16011665年）,主要贡献是对现代数论的奠基性工作，尤以费尔马大定理“不存在正整数x,y,z,n，使得xn+yn=zn(n2)”成为数论上“世界三大难题”之一，对推动数论发展，至今还作用未衰，此外还作过概率论的初期工作，因此也被誉为概率论奠基之人一。,（5）牛顿（英，公元16421727）,也许这是人们最熟悉的科学泰斗了。特别知道他在力学上的伟大贡献，却也应该记住，他也是数学上具有划时代贡献的人物，因为他是微积分学创始人之一，此外，创造的牛顿近似计算法也是人们熟知的，美国诗人Pope有诗曰：“自然本处在一片黑暗之中，上帝说：让牛顿出生吧，一切都地变得明朗。”足见人们对牛顿的评价和崇拜了。不过可惜牛顿的科学旺盛时期太短了，虽然在他的科学晚年（40岁以后）有不少要闻轶事至今还在激励着人们奋进，但也不能不说这与他科学晚年罹患疾病有关，包括他晚年对科研方向的错误选择。,（6）莱布尼兹（德，公元16461716年）,微积分学创始人之一，他提出的微商记号既易被学生接受，更利于揭示微分学的哲理，可惜与牛顿之间为优先发明权的争执使他晚年很不愉快，此外，他还是数学逻辑的创始人，也是现代计算技术的先驱之一，莱布尼兹还是哲学史上一位名家。,（7）欧拉（瑞士，公元17071783年）,多产数学家，以欧拉命名的公式、定理、符号、方法、折线、函数等等之多，常常使学生因“张冠李戴”错误而感到头痛，尽管欧拉患有严重眼疾，一生仍有八百多篇论文和专著，汇集成的欧拉全集也有73大本。,（8）傅立叶（法，公元17681830年）,“傅立叶分析”的创始人，一位工程师，遗憾的是他当初长期未得数学家的支持，有的只是批评，逼使他为捍卫和完善自己的理论艰苦奋斗了20多年。,（9）高斯（德，公元17771855年）,19世纪最伟大的数学天才，被誉为数学王子，他说：“数学是科学之皇后，数论是数学之皇后”。他证明了代数基本定理，他创立了内蕴几何学，他不仅对现代数论有突出的贡献，对正多边形的欧几里德作图理论也有惊人的成就，此外，他在天文、测绘、电子学等方面也都有过重要贡献。,（10）柯西（法，公元17891857年）,分析学的主要创始人，在级数，实变函数、微分方程、行列式、概率上都有着重要贡献，一生共发表789篇论文，仅次于欧拉，科学院会刊不得不因他而提出发表论文要限制篇幅（四页），如今世界上学术界发表论文要限制篇幅即起于此。,（11）伽罗华（法，公元18111832年）,在一般的五次及五次以上代数方程不可用有限形式求根的研究上，提出了“群”概念，从而成为“群论”创始人，其思想曾表述在参加决斗前写给表兄一封信上，十多年后才为刘维尔发现并整理发表于数学杂志上。,（12）维尔斯特拉斯（德，公元18151897年）,分析学的主要奠基人，他给出了覆盖定理，处处不可导的连续曲线例，提出了实数系应该严格化的所谓“分析算术化”重要设想。,（13）黎曼（德，公元18261866年）,黎曼几何学的创始人，在分析学中贡献亦丰，比如黎曼积分，黎曼曲面，柯西黎曼微分方程等等，特别地，黎曼猜测至今仍然困扰着人们，是有名世界难题之一。,（14）康托（俄，公元18451918年）,集合论创始人，也与柯西、维尔斯特拉斯、狄特金等人一样，是分析学奠基人之一，他说“数学中提问的艺术比起解题来，更为重要”、“数学的本质在于其自由”，他的连续假设至今困惑着世人，他的“康托三分集”使人耳目一新，可惜一生坎坷，死于忧郁症。,（15）希尔伯特（德，公元18621943年）,数学上无冕之王，其几何基础（1899年）严格了欧几里德公理系统，并由此创立了形式主义学派，其核心是解决“兼容性”问题，解决兼容性问题的思想属“证明论”，企图在其巨著数学基础（公元19341939年）中实现这一思想，但为哥德定理所破，此外希尔伯特还解决了华林问题，他在1900年世界数学家大会（巴黎）上提出23个数学难题，成为贯穿20世纪的主要数学任务。,（16）庞卡莱（法，公元18541912年）,现代动力体系创始人，也是“定性理论”、“拓扑学”、“小参数法”、“自守函数”等等若干数学分支的创始人，人们称他是征服者，而不是开拓者，他的一生有500多篇论文，全集共三十多册，庞卡莱民是有名的哲学家，支持唯心主义，被列宁喻为“科学中的巨人，哲学中的侏儒”。,（17）冯.诺伊曼（匈美，公元19031957年）,有名的纯数学（代数学）家，以后成为应用数学家，被称为电子计算机之父，博奕论之父，亦为形式主义学派要员，在数理经济上提出了冯.诺伊曼模型，他提出的研究方向，使数理经济得到迅速发展，他说“很难说数学不是来源于经验，也很难说是来源于经验”。此话恰似千言万语的浓缩。,从上我们将看到如下几条规律： (1)一个时代的知名数学家越多这个时代的数学发展越快； (2)出生于本世纪的数学名家似乎总不如他们以前的名家那么有名。为什么？ (3)数学家都集中在欧美，而不乏天才的中华民族在表中没有一人。为什么？ (4)为什么当时盛行的中国哲学思想对数学的影响不如希腊明显？,第六章 数学之树,第九讲,数学在现代的发展状况酷似一棵树，一棵硕大的榕树，往上有不断增枝为蘖的树冠，往下有不断伸展扎实的树根，生机勃勃，气象万千，从这一角度对数学的描述即是本章宗旨的一个方面。 在人类社会史上，首先有了整数的概念，然后即向着两个方向发展。一方面往数学的结构方向发展；另一方面往数学运算方向发展，对前者的描述是上一章的任务，对后者的描述正是本章任务。 数学在运算上呈现出了两个大的分杈，一个是演绎数学；一个是数值数学,1. 演绎数学,在演绎数学方面，首先看到的是由古老的初等几何、初等代数和初等数论发展起来的三大枝系，其次是大有后来居上之势的数学分析和概率论这样两个不可小视的巨大枝系。今天，上述五个“枝系”都在尽情地发展着，看不到尽头。本节即从这五个方面来分头叙述演绎数学。,（1）第一支系几何学,1）几何学科知多少 几何学从来都是数学王国的主要成员，是数学王国中名副其实的半边天，以致如果今天要问世上现在有多少门几何学，这是难以算清的。因为数学学科的集合对于几何概念来说已具有模糊性了，就已有的附有几何名称的学科来说至少可有几何原本、初等几何、画法几何、解析几何、微分几何、随机微分几何、射影几何、仿射几何、保形几何、度量几何、相似几何、张量几何、黎曼几何、罗巴捷夫斯基几何、内蕴几何、距离几何、网络几何、计算几何、几何基础、数的几何、接触几何、辛几何、代数几何、大范围几何、齐性空间局部几何和Banach几何等等。甚至70年代还产生了一个分形几何（Fractural geometry）。以上所举几何可分作三类，一类可叫作直接的公理化体系几何；一类可叫作代数方法构成的几何（如解析几何）；第三类可叫作用分析方法构成的几何（如微分几何）。 这就是一个以初等几何为源发展起来的几何学类的梗概。,2）几何理论发展脉络 在纯数学的几何理论中，从古至今这一时间金线上，串连着如下几个里程碑，它勾画出了几何理论的发展脉络。 欧几里德的几何学原本（公元前3世纪），最伟大的贡献是提出了公理化思想。 在公理化思想下产生了非欧几何（公元19世纪初），并在19世纪中叶形成了非欧几何热。 欧氏几何与非欧几何热促成克莱茵的“艾尔兰根纲领”问世（1872年）。他提出了“几何变换的实质是找不变性质或不变量。 在艾尔兰根纲领下总结出了射影几何。（公元17世纪）。 希尔伯特的几何学基础（1899年）。它的贡献是完善了几何学的公理化体系，它提出了一组21个公理，使得欧几里德几何学原本中的漏洞“全被补上了”。,最后当提到，20世纪来几何学可说正沿着侧地线极小曲面不变子流形调和映谢这样一条主脉络发展，主要贡献者也许要数德拉蒙，E卡担，安德森、陈省身及邱成桐，进一步还可参考几何在美国的复兴：1938-1988。 据信有的数学家用代数方式思维，有的用几何方式思维，也有的用物理方式思维，但很多数学家的经验表明，数学家的基本思维方式仍然是几何的。笛卡尔说，“没有什么比几何图形更容易进入人的思维了”。阿诺尔德说，“我常常是用几何方式思维，先绘出图而不是写下公式”。,（2）第二支系代数学,1）代数的支系 代数一般应理解为16世纪开始的“符号代数”。在这种意义下我们说初等代数是在秉承四则运算之下，引入参变量和未知量而成的，此后在近400年中，这的发展沿着两支进行。 一支是方程组论。研究多元线性代数方程组的解（解的方法和解的理论）。在解的理论中形成了行列式理论，矩阵理论，线性空间理论等大的分支，总称为线性代数， 一支是方程式论。研究高次代数方程的根（根的求法和根的理论）。由于对五次和五次以上方程无一般有限形式的解（亦叫根）的证明产生了伽罗华群理论（19世纪30年代），从而很快发展成都以群、环、域、体、理想、模等一系列概念为核心的“近世代数学”。 如今代数学仍然表现为以这样两分支上的理论深化与实际应用作为这的任务和内容。,2）矩阵论 一个线性代数方程组完全地决定于它的系数矩阵。所以要要求方程组解的方法和理论都少不了以系数矩阵为讨论对象，因此线性代数中产生了专门的矩阵论这一重要分支。 稀疏矩阵。这是指对一些特殊阵的研究。如厄米特阵（又叫幂零阵） 一般矩阵理论，这是针对特征值、标准型、矩阵变换、逆矩阵、多项式矩阵，模糊矩阵等等方面进行的理论研究，这些内容统称做矩阵代数。 矩阵分析。这包括对矩阵函数、函数矩阵和矩阵方程所涉及的连续、极限、微积分运算等性质的研究。,3）群论 新理论常常产生于事物在最难点处的突破，多项式求根理论的发展比线性方程组难，恰好多项式理论产生的突破就更大，近世代数就是这样来的。群概念建立正是产生近世代数的突破点，但事实还远不止于此，如今群论已发展成有必要从近世代数中独立出来，成为与近世代数同等规模的庞大体系，因此这里不能不专门谈一谈群。 群，直观地说，“若一个具有单位元的集合G对某个给定的“乘”运算封闭，则G叫做一个群。自然，只要满足了运算的“封闭性”，相应于该运算的逆元素就必须存在，这就是一些书上用三条公理严格叙述出的定义了。,（3）第三支系分析学,这是在笛卡尔坐标系下，描述一般几何对象，如曲线、曲面等的思想产物，具体产生于微积分概念的建立。如果说解析几何是用代数方法研究特殊的几何对象，数学分析则是用微积分方法研究更一般的几何对象。,1) 数学分析支系梗概 函数论 微积分、实变函数、复变函数、泛函分析、变分法 流形上的分析 积分方程、微分方程、微分拓扑 各个分支又演变成若干分支，目前共计约30个分支。 已经知道，数学分析是围绕微积分理论，从数学到哲学，哲学到数学，在基本概念、具体方法、处理技巧等一系列问题上，经过了200年的孕育过程才随着第二次数学危机的解决而诞生的。一门数学分支乃至一般科学分支的诞生常常可归为一个或两个人的功劳，但数学分析却是一批人的智慧结晶，而且正是数学分析的诞生伴随而来的数学大爆炸，才又反回来开辟了数学分析的新时期。百多年来由数学分析（又称分析学）派生的支系难以细述，这里仅列出它的梗概。,1) 数学分析支系梗概 函数论 微积分、实变函数、复变函数、泛函分析、变分法 流形上的分析 积分方程、微分方程、微分拓扑 各个分支又演变成若干分支，目前共计约30个分支。 已经知道，数学分析是围绕微积分理论，从数学到哲学，哲学到数学，在基本概念、具体方法、处理技巧等一系列问题上，经过了200年的孕育过程才随着第二次数学危机的解决而诞生的。一门数学分支乃至一般科学分支的诞生常常可归为一个或两个人的功劳，但数学分析却是一批人的智慧结晶，而且正是数学分析的诞生伴随而来的数学大爆炸，才又反回来开辟了数学分析的新时期。,2）分析学的绝代优点 数学分析不仅对过去，今天乃至今后的数学，都将继续起着根本性的影响作用，原因是它能将高深的数学概念“算术化”。这是数学至今，任何一门分支都不可比拟的优点。 如果一个宏观理论不是建立在细致的微观分析基础上的话，该理论的应用范围和应用深度都将受到很大的制约，也就是说，建立在越深入的微观理论上的宏观理论就越有活力，数学分析中的宏、微观理论和方法正体现了这一特点，这是迄今哪一门科学与之比起来都将自惭形秽的。,3）微分概念的分支图 已知微积分概念是产生分析学的基础，实际上分析学的优点也就是微积分的优点， 差分 变分 绝对微分（共变微分） 牛顿莱布尼兹微分 Frechet微分，Gateaux微分 微分算子，拟微分算子 外微分（格拉斯曼微分） 次微分，微分包含 所以微积分概念的影响是很深远的。,（4）第四支系概率论与数理统计,概率论与数理统计包括： 随机理论： 随机分析、时序分析、过程理论、鞅论、随机微分 方程等。 统计学： 估计方法、抽样分布、检验方法、回归方法等。 概率应用： 随机计算方法、博弈论、排队论等。,概率论是迟至20世纪40年代才被承认的，因为这时才发现它（柯尔莫哥洛夫）原来是直接从“数学之树”根部的勒贝格测度论基础上生长出来的，它是不确定数学中又一庞大支系，同时可看到，它还有若干强壮的根，直接扎在大地这个实际应用环境上，这些都赋予了概率论以丰富的营养资源，预兆着它和的后天繁茂。 再则，概率论一经被承认，它就与数学分析结上了不解之缘，与之平行地派生出一系列随机分析子学科。特别要提及的是作为概率论的重要应用分支统计学，如今已成为分支繁多、生长点密布的独立学科，其发展大有超过概率论之趋势，以致20年前的概率论在今天必须分别叫它做概率论与统计学理论（简称概统论）了。概统论在大学里也已发展成独立的专业和系。 概统论之所以这样“走红”，不仅在于它是数学描述对象的一个发展阶段，更在于这很强的应用性，今天的应用数学如果没有概统工具，必是蹩脚的,（5）第五支系数论,数论是研究整数性质的学科，在数的发展过程中，整数是人类史上最早接受的，这就注定了数论历史的古老性，同时数学史还表明，数论是一个独立性很强，繁荣期超前，且倍受历史青睐的学科，之所以如此，可由下面几个方面来说明。 数论研究的领域（整数），从人们的感觉上讲是“熟悉”的，因此人们容易去接近它。 数论研究的工具在历史上是简单朴素的，容易入门。 数论问题容易激起人们对它的成功幻想。因此数论问题很具有吸引力。 数论问题技巧性强，这就构成了这的趣味性，高斯曾说过“数论是思维的体操” 数论学科内部存在着强大的发展动力，这就是数论史上的各种“猜想”和“难题”。这些问题看起来直观，作起来却超出想像的难，数论大师拉格朗日曾说，“数论对于我来说，付出的劳动多，得到的收获少”,可以说数论史就是一系列容易接受但不容易证明的难题谱写成的。 作为近代数论的发展，其主要动力是所谓“世界三大数论难题”，这可说已“家喻户晓”的了。它们是： 费马问题（亦叫费马大定理）：是否存在正整数x、y、z、n，（n2）使得xn+yn=zn（1670年）； 华林问题：任一正整数n必为四个平方数之和或九个立方数之和，或19个四方数之和等等（1770）； 哥德巴赫问题：每个大于或等于6的偶数可表为两个奇素数之和；每个大于或等于9的奇数可表为3个奇素数之和（1742年）,我们概述了演绎数学这一庞大支系的分支发展梗概，其中一、三支属连续数学，二、四、五枝属离散数学。实际上对每一分支还可分出若干子支，每一子支又可分作若干子支，一直分到“底”。从目前的科研前沿看，一般课题都处在五级以上分支点，比如常微分方程中，产生于20世纪30年代的，以电子学理论的极限环为背景的研究课题，即可追溯到如下五级分支上来：微积分理论常微分方程定性理论多项式微分方程极限环论。当进一步落实到具题课题时已是第六、七级分支了。 总之，数学之树如今分支极细、层次繁多，以致有的学科在归属上产生了“模糊”性，比如计算机科学在几十年前很明显属于数学，但而今变得模糊了。因此，对数学分支体系很难作出精确罗列，这时要想精确反会不精确，所以只能就此作作简述。,第二章 数学简史,第二讲,1. 数学的几个发展阶段,(1) 16世纪以前，叫做初等数学时期； (2) 17世纪初到19世纪中叶，叫高等数学时期； (3) 19世纪中叶到20世纪30年代，叫做近代数学时期； (4) 20世纪40年代以来，叫做现代数学时期。,现代数学的特点是应用数学的崛起和计算机科学崛起，这时的纯数学则以处理非线性问题、大范围分析和流形理论为特征，抽象化风愈甚。,1.1、公元5世纪前初等数学初期,数学发展也是由社会发展决定的，追溯5世纪以前的三千多年历史，虽然世界已饱经沧桑，却基本的政治经济发达区域内。特别地，各地区的数学都深深地染上了该地区的自然特征和民族思维特征。,区域（1） 以埃及、巴比伦为主，对定期泛滥的尼罗河流域及幼发拉底斯河平原进行土地丈量中，产生的几何学为特色； 区域（2） 以希腊、小亚细亚、亚美尼亚为主的证明几何学与观测星相而产生的三角学为特色。这是希腊哲学思想影响的结果； 区域（3）是以中国为中心的中印文明区。它主要表现在算术和数伦的思想和方法上，不过它受自己哲学思想的影响似不如希腊明显； 区域（4）（阿拉伯）仅对来自它的东方及西北方的数学，进行了翻译，并加以继承和发展。比如阿拉伯数字正是在这里秉承东方（主要是印度）传来的记数优点，发展而成，再传到西方的。,我们看到了： 区域（1）的数学是测量实践性的， 区域（2）的数学是理论证明性的， 区域（3）的数学是经验介定性的。也就是说，此期内中印的数学都未体现出理论证明的特色，而只是“寓理于算”。 此外还看到，作为当时抽象的学科“代数学”，在每个区域都萌芽。即是说代数学即可从几何基础上产生，也可从算术基础上产生；即可从测量学基础上产生，也可从几何理论研究的基础上产生。,1.2、公元5至16世纪数学的幸存和代数的成绩。,中世纪是世界史上有名的科学灾难时期，数学自然不可幸免。这是因为宗教在当时占据了统治地位，致使自然科学宗教在哲学上的对头遭到了严重不幸。,中世纪和科技文化成果表现出了两大特点： （1）从时期上，其重心落在中世纪的末期，即公元15、16世纪； （2）从地域上，以意大利为中心。这不仅因为文艺复兴始于此，而且数学仅有的两大成就都出在意大利，这就是 1）13世纪裴波拉契数的发现。 2）代数上的成绩，主要有两个：一是三次代数方