自动控制原理孟华著机械工业出版社课后答案第2章习题.pdf

习题 2 2-1 试建立图 2-1 所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为 输入量；位移和电压为输出量；k（弹性系数） ，（阻尼系数） ， )(tF)(tx)(tur )(ty)(tucfR（电阻） ，C （电容）和（质量）均为常数。 m 解 （a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑 重力影响） ，如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 m 2 2 )()( dt yd m dt dy ftkytF= 整理得 )( 1 )( )()( 2 2 tF m ty m k dt tdy m f dt tyd =+ （b）如图解 2-1(b)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 )()( 1 11 dt dy dt dx fxxk= （1） 对 B 点有 yk dt dy dt dx f 2 1 )(= （2） 联立式（1） 、 （2）可得： dt dx kk k y kkf kk dt dy 21 1 21 21 )(+ = + + (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()( 1 1 )( 1 1 sUsI cs R cs R sU cr + + = （3） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 )( )( R sUc sI= （4） 联立式（3） 、 （4） ，可解得： CsRRRR CsRR sU sU r c 2121 12 )1 ( )( )( + + = 微分方程为: r r c c u CRdt du u RCR RR dt du 121 21 1 += + + (d) 由图解 2-1（d）可写出 CssIsIsIRsU cRRr 1 )()()()(+= （5） )()( 1 )(sRIsRI Cs sI cRc = （6） CssIsIRsIsU cRcc 1 )()()()(+= （7） 联立式（5） 、 （6） 、 （7） ，消去中间变量和，可得： )(sIC)(sIR 13 12 )( )( 222 222 + + = RCssCR RCssCR sU sU r c 微分方程为 r rr c cc u RCdt du CRdt du u RCdt du CRdt du 222 2 222 2 1213 +=+ 2-2 试证明图 2-2 中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的 数学模型） 。 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图 解2-2(a)所示。对A点有 )()()( 1122 yyfyxfyxk&=+ (1) 对 B 点有 1111 )(ykyyf= & & 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m (2) 对式（1） 、 （2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得 1 y )( )( sX sY = 2 1212 1212 2 12122 12121 ()1 () f fff ss k kkk f ffff ss k kkkk + 1+ (b) 由图可写出 sC R sUc 2 2 1 )( + = sC R sC R sC R sUr 1 1 1 1 1 2 1 1 1 )( + + 整理得 )( )( sU sU r c = 1)( 1)( 212211 2 2121 2211 2 2121 + + sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR 比较两系统的传递函数，如果设 1122112 1,1, 2 Rk Rk Cf Cf=则两系统的传递函数 相同，所以两系统是相似的。 2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程h r Q r Q S h Sdt dh1 =+ ， 式中为液位容器的横截面积，S为常数。若与在其工作点附近做微量变 化，试导出关于的线性化方程。 h r Q),( 00 hQr h r Q 解 将h在处展开为泰勒级数并取一次近似 0 h h h hh dt hd hh h +=+= 0 00 2 1 | 0 （1） 代入原方程可得 )( 1 ) 2 1 ( )( 0 0 0 0 rr QQ S h h h Sdt hhd +=+ + （2） 在平衡工作点处系统满足 00 0 r Qh dt dh =+ （3） 式（2） ， （3）相减可得的线性化方程 h 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m r Qh h dt hd S=+ 0 2 2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系 统的传递函数和脉冲响应。 tt eetc += 2 21)( 解 单位阶跃输入时，有 s sR 1 )(=，依题意 sss s sss sC 1 )2)(1( 23 1 1 2 21 )( + + = + + + = )2)(1( 23 )( )( )( + + = ss s sR sC sG tt ee ss LsGLtk = + + + = 211 4 2 4 1 1 )()( 2-5 已知系统传递函数 23 2 )( )( 2 + = sssR sC ，且初始条件为1)0(=c， 试求系统在输入作用下的输出。 0)0(=c& )( 1)(ttr=)(tc 解 系统的微分方程为 )(2)(2 )( 3 )( 2 2 trtc dt tdc dt tcd =+ （1） 考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 s sCssCssCs 2 )(23)(3)( 2 =+ （2） 2 2 1 41 )23( 23 )( 2 2 + + + = + + = ssssss ss sC tt eetc 2 241)( += 2-6 求图 2-3 所示各有源网络的传递函数 )( )( sU sU r c 。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 1 2 )( )( R R sU sU r c = (b) 2 211 2211 1 1 1 1 2 2 )1)(1 ( 1 1 1 )( )( sCCR sCRsCR sC R sC R sC R sU sU r c + = + + = (c) )1 ( 1 1 )( )( 21 2 1 2 2 CsRR R R Cs R Cs R sU sU r c + = + = 2-7 某位置随动系统原理框图如图 2-4 所示，已知电位器最大工作角度330 m Q 0， 功率放大器放大系数为。 3 k （1） 分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，； 0 k 1 k 2 k （2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数)()(sQsQ rc 。 解 (1) 电位器的传递函数 11 180 180 330 30 0 0 0 0 = = m Q E K 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3 1010 1030 3 3 1 = =K， 2 1010 1020 3 3 2 = =K (2) 可画出系统结构如图 2-5 所示： (3) ) 1(1 1 ) 1( )( )( 321032 3210 + + + + + = sTs KKKKK sT KKKK sTs KKKKK sQ sQ m m m tm m m r c 1 1 1 3210 322 3210 + + + = s KKKKK KKKK s KKKKK T m tm m m 2-8 已知系统方程组如下： = = = = )()()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()()( 34 3523 36122 87111 sXsGsC sGsGsCsXsX sXsGsXsGsX sCsGsGsGsRsGsX 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 )( )( sR sC 。 解 系统结构图如图 2-6 所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 8432174321543632 4321 1)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGG sR sC + = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2-9 试用结构图等效化简求图 2-7 所示各系统的传递函数 )( )( sR sC 。 图 2-7 系统结构图 解 （a） 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 所以： 4321324321 4321 1)( )( GGGGGGGGGG GGGG sR sC + = （b） 所以： HG GG sR sC 2 21 1)( )( = （c） 所以： 3213221 321 1)( )( GGGGGGG GGG sR sC + = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （d） 所以： 2441321232121 41321 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGG sR sC + + = （e） 所以： 23212121 321 4 1)( )( HGGHGHGG GGG G sR sC + += 2-10 已知控制系统结构图如图 2-8 所示，求输入( )3 1( )r tt= 时系统的输出。 )(tc 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解 由图可得 )3)(1( 2 ) 1( 12 2 1 12 2 )( )( 2 2 + = + + + + = Ss s ss ss sR sC 又有 s sR 3 )(= 则 3 1 1 323 )3)(1( 2 )( + + + = + = ssssSs sC 即 tt ee sss Ltc 31 32 3 1 1 32 )( += + + + = 2-11 试绘制图 2-9 所示系统的信号流图。 解 2-12 试绘制图 2-11 所示信号流图对应的系统结构图。 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 解 2-13 试用梅逊增益公式求 2-9 题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有 1 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 ， 211143211 1GGLGGGGP= ， 21321323432 )(1LLLLLGGLGGL+= 4321324321 432111 1)( )( GGGGGGGGGG GGGGP sR sC + = = （b）图中有 2 条前向通路，1 个回路 ，HGLGPGP 21222111 11= 1 1L= HG GGPP sR sC 2 212211 1)( )( = + = （c）图中有 1 条前向通路，3 个回路 ， 21113211 1GGLGGGP= ，)(1 3213213322 LLLGGGLGGL+= 3213221 32111 1)( )( GGGGGGG GGGP sR sC + = = 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m （d）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ，11 241213211 =GGPGGGP ， 414321323221211 GGLGGGLHGGLHGGL= ，)(1 54321245 LLLLLHGL+= 2441321232121 413212211 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGPP sR sC + + = + = （e）图中有 2 条前向通路，3 个回路 ，= 24213211 1GPGGGP ，)(1 32123231221211 LLLHGGLHGLHGGL+= 23212121 321 4 11 2 211 1)( )( HGGHGHGG GGG G P P PP sR sC + += += + = 2-14 试用梅逊增益公式求图 2-13 中各系统的闭环传递函数。 解 （a）图中有 1 条前向通路，4 个回路 1 143211 =，GGGGP 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m )(1 43212434 443213332121321 LLLLHGGL HGGGGLHGGGLHGGL += = ， ， 则有 243443213321132 432111 1)( )( HGGHGGGGHGGGHGG GGGGP sR sC + = = （b）图中有 2 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 ， 111243213211 111HGLGGPGGGP+= ， 3213213332111 HHHGGGLHGLHGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 则有 33113213213311 11433212211 1 )1 ( )( )( HGHGHHHGGGHGHG HGGGGGGPP sR sC + + = + = （c）图中有 4 条前向通路，5 个回路 ， 1242321211 GGPGPGGPGP= ， 2151242321211 GGLGGLGLGGLGL= ，)(11 43214321 LLLL+= 则有 + = 44332211 )( )(PPPP sR sC 2121 2121 21122211 122211 31 2 1GGGG GGGG GGGGGGGG GGGGGG + + = + + = （d）图中有 2 条前向通路，5 个回路 ，11 2321211 =GPGGP ， 22135342132212121 HGHGLGLGGLHGGLHGL= ，)(1 54321 LLLLL+= 则有 + = 2211 )( )(PP sR sC 221332122112 321 1HGHGGGGHGGHG GGG + + = （e）图中有 2 条前向通路，3 个回路，有 1 对互不接触回路 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ， 1234213211 11LGGPGGGP= ， 3232321211 HGLHGLHGGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 则有 213213223121 121343212211 1 )1 ( )( )( HHGGGHGHGHGG HGGGGGGGPP sR sC + + = + = 2-15 已知系统的结构图如图 2-14 所示，图中为输入信号，为干扰信号，试 求传递函数 )(sR)(sN )( )( sR sC ， )( )( sN sC 。 解（a）令0)(=sN，求 )( )( sR sC 。图中有 2 条前向通路,3 个回路，有 1 对互不接触回路。 ，HGLGGPGGP 2123121211 111+= ， 31321221 GGLGGLHGL= ， 31321 )(1LLLLL+= 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGPP sR sC 32131212 231212211 1 )1 ( )( )( + + = + = 令，求 0)(=sR )( )( sN sC 。有 3 条前向通路，回路不变。 ，111 22142111 =GGGPLP 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m ， 133143 1LGGGP= ， 31321 )(1LLLLL+= 则有 HGGGGGGGHG HGGGGGGGHGPPP sN sC 32131212 23142142332211 1 )1 (1