必修五课件：等差数列的前n项和.ppt

1,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,等差数列前n项和,2,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？,探究发现,3,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，可使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,4,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,5,问题2:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？,5+9=14,6+8=14,7+7=14,8+6=14,9+5=14,先算出每层的根数-每层都是14根!,再计算层数-共5层!,所以共(14 5)/2=35根.,6,问题3,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求“1+2+3+4+100=？”,7,S=1 + 2+ 3+ +98+99+100,S=100+99+98+ + 3+ 2+ 1,2S=(1+100) 100=10100,S=5050.,8,问题4:,求和:1+2+3+4+n=?,记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+n,S= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1,P42练习1,9,问题5：设等差数列 an 的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+an?,10,解：,因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,两式左右分别相加，得,倒序相加,S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+an,S=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a1,2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an),11,问题6：能否用a1,n,d表示Sn,将an=a1+(n-1)d代入,12,进一步的思考：,1.an？；从函数的角度怎样理解？,an = 4n-14,Sn = 2n2-12n,2. Sn呢？,等差数列10，6，2，2， 的前多少项的和为54？,13,Sn的深入认识,an = 4n-14,Sn = 2n2-12n,14,问题6：能否用a1,n,d表示Sn,将an=a1+(n-1)d代入,公式的结构特征：,设,若a1、d是确定的，那么,上式可写成Sn=An2+Bn,若A0(d0)时,Sn是关于n的二次函数且缺常数项.,15,P41例3,S10,S20-S10, S30-S20也成等差数列吗？可否推广？,公式应用,P42练习2,3 P45习题3,P42练习4，P45习题5，6,16,1.推导等差数列前 n项和公式的方法,3.公式应用中的数学思想.,-倒序相加法,-方程思想,说明：两个求和公式的使用-知三求一.,2.等差数列前 n项和公式及应用,小结,17,练习1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米？,自主应用,18,练习2 .等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？,本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.,19,练习3（1）在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和。,解法一：设插入的10个数依次为x1,x2x10则a ,x1,x2x10,b成等差数列。,令S= x1+x2+x10需求出首项x1和公差d,b=a12=a+11d d=(b-a)/11,X1=a+(b-a)/11=(10a+b)/11,20,解法二：设法同上 S=S12-(a+b)= -(a+b)=5(a+b),解法三：设法同上x1+x10=a+b,(2)求集合M=m|m=7n,nN*且m100的元素的个数并求这些元素的和。,分析：在小于100的自然数中，有多少个数能被7整除，并求这些数的和。,21,例3.求集合 中所有元素的和。,22,例2 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.,解：,所以集合M中的元素共有14个.,将它们从小到大列出，得,即 7，14，21，28，98,这个数列是成等差数列，记为,答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.,23,例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.,证明：,将成等差数列的三条边的长从小到大排列，,它们可以表示为,a-d, a, a+d (这里a-d0,d0),由勾股定理，得到,解得,从而这三边的长是,3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5,24,已知等差数列16，14，12，10， (1) 前多少项的和为0？ (2) 前多少项的和最大？,课外探索,25,EX.1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。,2.已知两个等差数列an,bn，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若,26,3.在等差数列an中， (1)已知d=3,an=20,Sn=65, 求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn. (3)已知a11=-1，求S21.,27,再见,28,29,