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三垂线定理,江西省上犹中学 刘道生,A,a,O,P,这是偶然的巧合，还是必然？,PO a,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件,思考,三垂线定理包含的垂直关系,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC,证明： P 是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,(1) PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAM,BCAM,证明:, PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3) 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,回顾思考,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？,回顾思考,若a是平面的斜线,b,
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