生物医学信号处理41检测理论.ppt

4.1 检测理论,检测：从观察数据中判断某种信号是否存在 检测的数学工具是数理统计中的假设检验方法,二元检测： 假设H0：观察值x中没有信号s，只有噪声n，即x=n 假设H1：观察值x中既有信号s，又有噪声n，即x=s+n,二元检测中的名词： 各假设的先验概率P（H1）、P（H0） 根据以往经验得出的H1、H0各假设发生时的概率 条件先验概率：在某一假设下取得观察值x的概率 x为离散型随机变量时，用概率表示：P（x|H1）、P（x|H0） x为连续型随机变量时，用概率密度函数表示：f（x|H1）、f（x|H0） 后验概率P（H1|x）、P（H0|x）： 取得某一观察值x后，该值属于某一假设的概率 虚警概率PF：“无”报成“有”的概率 漏报概率PM：“有”报成“无”的概率 总失误率PE：上两项错误的总概率，PE=PFP（H0）+PMP（H1） 检测概率PD：情况属于H1，且被正确判断出来的概率 PD=1-PM,问题提出： 设观察值x是已知信号s=A和噪声n的和，则x=s+n有两种可能 H0：观察中没信号，即x=n H1：观察中有信号，即x=s+n 且假设已知P（H1）、P（H0）及噪声的概率密度函数f（n）。 现在做单次观察x=x1，试根据观察结果做出选择，属于H1还是H0。,常见检测准则（检测判据）,极大后验概率准则,测得x值后情况属于H1的后验概率为P（H1|x），情况属于H0的后验概率P（H0|x），哪个概率大，则判为哪种情况：,若观察x是连续变量，概率只能在一定区间讨论,（1）,+A、-A均为确定信号，n为随机信号，因此x也为随机信号，仅仅是均值发生偏移，即有：,如果噪声n服从N（0，n2）, 在两种假设情况下，观测信号为,n,一维随机观测信号特征：x是一维变量。,例1：设信号s是恒定值A。噪声n是高斯型随机变量N(0,n2)。信号以等概率发送或不发送即P(H0)=P(H1)=1/2。试求最大后验概率准则的具体形式。又设测得x1 =0.7A,试判断是有信号还是无信号。,H0假设下s=0,所以x=n。这时x的概率密度函数就是n的概率密度函数,即,H1假设下s=A,所以x=A+n。因此这时x是均值为A、方差为n2的高斯型随机变量,解：已知,两式相除得：,故判据为：,取对数并化简得：,可见,当观察值x=0.7A时应判定为H1,即有信号。下图所示为本题结果的图像说明,由该图可见 当xA/2时,f0(x)f1(x),判为H1； 当xA/2时,f1(x)f0(x),判为H0。 一般情况下P(H0)P(H1),令 =P(H0)/P(H1) 例如,当P(H0)=2/3时,有P(H1)=1/3，因此=2。,此时判断区域的划分如下图所示。图上ac/bc=2，X0是判别区域的阈值,其求法如下 两边取对数 或 式中, X0就是分界的阈值,检测性能：,检测总失误率：,最小失误率准则,检测总失误率：,适当地选择判决区域（即阈值X0）使PE极小，称为最小失误率准则。,推导：,只要把被积为负值的区域都划作H1的判决区域就能使PE达到最小。,即,时判为H1,最小失误率判据,贝叶斯准则,最小失误率准则的推广，只是考虑了不同判断结果要付不同代价,平均代价为：,纽曼-皮尔逊准则,以上三种准则是以两种假设出现的概率P（H1）、P（H0）是已知的为前提。实际工作中这些先验概率往往并不知道，此时可采用纽曼-皮尔逊准则。 基本思路： 在给定虚警概率PF=的前提下，使得检测概率PD尽可能大，即使漏报概率PM=1-PD尽可能小。,在一些较简单的情况下，阈值的确定是直接的，没有最优选择的余地，如右图示例：,PF=给定后，X0值可由下式确定,进一步讨论： 纽曼-皮尔逊准则只在单次观察且概率密度函数的曲线比较复杂，或是多次观察下才有意义。如下图：,多次观察,常见的情况是判决要根据一组特征组成的观察矢量来决定。 观察矢量可能由多次测量结果结合起来构成，也可能由多种特征的集合构成，不论哪种情况统称多次观察。,多维联合概率密度函数，直接由 其找出的阈值也是多维函数，运 算不方便。,为简化多次观察时的计算，往往需要找到某一映射关系： 将多维的观察矢量映射成一维的检验统计量I，并用其进行检验。但这样的检验统计量未必总能找到，且其概率密度函数往往也并不简单。,突出特例：各次观察xi互相独立且具有相同的分布：,下面结合这个例子讨论其检验性能,以便说明多次测量较之单次测量的优点。 因为各xj都是高斯分布,因此检验统计量x也做高斯分布。它的均值不变,方差则减小到原来的1/N,即 当s=0时, x是均值为0、方差是n2/N的高斯变量 当s=A时, x是均值为A、方差是n2/N的高斯变量 右图上画出了f0(x)和f1(x)的曲线,并与单次测量的f0(x)和f1(x)做比较。由于方差减小,所以x的似然函数图像变尖变窄,因此PF、PM都将减小。图上表示出了P(H0)=P(H1)=1/2时的情况。,可见N愈大PE愈小。由以上结果还可以看出: 信噪比A2/n2的大小对PE影响很大。当NA2/n2 =100时,PE=510-7；当NA2/n2 下降到54.76时,PE上升到10-4,增加了几个数量级。这是一个有普遍意义的结论。 如果信噪比不够大,可以通过增加观察次数N来补偿。例如,当A/n =1时,N=100,才能使N A/n=10。如果A/n下降到1/3,则把N增加到103,仍能使NA/n基本保持等于10。 为了保证各次观察的统计独立性,采样间隔至少要等于1/(2B)(B是信号带宽)。所以N愈大,所需观察时间愈长。即检测性能的改进以观察时间加长为代价。 检验统计量并不总是样本均值,多元检测 在信号或图像的模式识别以及对疾病的统计诊断中，备择假设往往不止一个，需要从多个假设中做出选择，这就是多元检测问题。 离散型随机变量观察值 设假设数目共有M个，观察矢量是X=x1, x2, xN，各xi都是离散型随机变量。 判断所依据的先验知识是 先验概率：P(H1)P(H2)P(HM) 条例先验概率：P(X|H1)P(X|H2)P(X|HM) (因为变量是离散型的，所以这里用的都是概率，而不是概率密度函数。),如果要按照极大后验概率准则来做判断,则问题的核心仍是通过贝叶斯公式由这些先验概率计算后验概率。由全概率公式: 因为对不同假设,上式的分母相同,所以比较分子即可。因此只要分别计算 并取其值最大的一个作为判决。 如果X=x1, x2, xN中各元素互相独立,则,例4 下表是对186例患者就乳癌、纤维瘤、乳腺瘤三种疾病所做的统计。统计时以下述症状为观察矢量。 x1：肿块表面。有两种离散取值:x11整齐, x12不整齐 x2 ：年龄。有两种离散取值:x21 40岁。 x3 ：肿块硬度。有三种离散取值:x31中等, x32偏硬, x33硬, 此外, x4是增大速度, x5是边缘清晰度, x6是肿块长度。它们的离散取值如下。,今有一病人年龄在40岁以上(x22),肿块表面不整齐(x12),肿块硬度偏硬(x32)。试对该病人所患疾病做出判断 (1)先计算各先验概率,(2)比较后验概率 P(H1)P(X|H1)=0.15590.4428=0.0690 P(H2)P(X|H2)=0.49460.0836=0.0413 P(H3)P(X|H3)=0.34950.0687=0.0240 可见乳癌的可能性最大。 这种统计诊断的准确性一方面与先验统计知识是否可靠有关,一方面又与各症状是否确实互相独立有关。实际应用时还需要加以改进。,连续型随机变量观察值 先从贝叶斯准则入手,并按单次观察来说明。事实上只要把叙述中的随机变量x换成随机矢量X就能推广到多次观察情况。 此时不同情况下做不同判决的代价函数,如下表所示。,例如,c12是情况属于H1而错判为H2的代价函数。根据这些代价,选择H1作判决时要付的平均代价是 C1=C11P(H1Ix)+C21P(H2Ix)+CM1P(HMIx) 式中,P(Hi|x)为观察x属于Hi的后验概率,其他检验准则是贝叶斯准则的特例,如下所述 如果正确判断无代价(cij=0,当i=j),错误判断代价相同(cij=1,当ij),则 贝叶斯准则蜕化成 取j最小的假设Hj作为判决。 上式中每一项代表不同错误判决发生的概率,所以它就是最小失误概率准则。 可以证明上式也即极大后验概率准则。这只要另设一个量: 然后与上式相减,便得 式中S值与j的选择无关,可见j最小即f(x|Hj)P(Hj)最大。根据贝叶斯公式,便意味着后验概率P(Hj|x)最大。,如果除上述条件外进一步还有各假设出现的先验概率P(Hi)都相等,则上式中只要比较f(x|Hj)即可。此时极大后验概率准则进一步蜕化成取条件先验概率密度函数f(x|Hj)最大的假设Hj作为判决。此时判决可以只根据条件先验概率密度函数做出。,例5 设计一种在四个假设H1、H2、H3、H4中做选择的检验判据。设 H1:x=s1是N(1,2)的高斯变量; H2:x=s2是N(2,2)的高斯变量; H3:x=s3是N(3,2)的高斯变量; H4:x=s4是N(4,2)的高斯变量。 设当i=j时,cij=0;当ij时, cij=1。且四种假设的先验概率P(H1)、P(H2) 、P(H3)、P(H4)相等。 (1)单次观察因为各P(Hi)相等,所以可以只根据条件先验概率密