数学七年级全笔记总汇.doc

_奇数表达式：2n-1 从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方。偶数表达式：2n n为正整数 高斯算法：首项加末项的和乘以项数除以二。 项数末项-首项的差公差+1奇数+奇数 奇数+偶数 奇奇数-奇数 偶 奇数-偶数 数偶数+偶数 数 可以用来解决： 数线段、角、偶数-偶数 握手、单循环比赛、车票等问题平面、立体图形分割（不论大小、形状）平面1刀2刀3刀4刀5刀6刀n刀切成的块数2471116222+2+3+4+.+n为什么是这么多块22+22+2+32+2+3+42+2+3+4+52+2+3+4+5+62+2+3+4+.+n立体1刀2刀3刀4刀5刀6刀切成的块数248152642为什么是这么多块44+48+7立体图形块数结论前一次切的块数加平面图形的前一刀得到的块数。和一定时，两数相等（越接近）积最（越）大。n边形（n3），减去一刀，该多边形可变为：n边形、n-1边形、n+1边形。中心对称图形（正方形、长方形、圆等）过对称中心的任意一条直线，都可以将它的面积两等分 2.1正数与负数 0（正数） 0（a0）a 0（中性数） -a 0（a0） 0（负数） 0（a0按照概念分： 正整数 自然数（非负数） 整数 0 负整数 非正数 有 理 正分数 数 分数 负分数 小数 有限小数 小 数 无限小数 无限循环小数 无限不循环小数 无理数按性质分： 正整数 正有理数 非负有理数有 正分数理 0 负整数 数 负有理数 非正有理数 负分数2.2相反数 0（a0） 非负数（非正数的相反数） -a 0（a0） 0（a0） 非正数（非负数的相反数）非负数与非正数互为相反数。 若a、b互为相反数，则a+b0 若a、b互为负倒数，则乘积为-1 或a-b 或b-a2.3绝对值 a（a0） 三分法：|a| 0（a0） -a（a0） a（0） 两分法：|a| -a（0）绝对值的性质：|a|0（非负数） |a|0（绝对值一定是非负数） 绝对值最小的数是0互为相反数的两个数绝对值相等：|a|-a|若|a|b，则ab； 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别为0.若|a|b|，则ab 如：|a|+|b|0，|a|0、|b|02.4有理数的大小比较：1. 正数大于0，负数小于0 2.正数大于一切负数 3.两个正数比较大小，绝对值大的数较大。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 5.求差法比大小. 6.求商法比大小.4.一组数比较大小，要分类5.分数比较大小，可以按情况通分，可统一分母，也可统一分子。 数串的表达（1奇数位为正，偶数位为负 表达为： 数串的表达（2奇数位为负，偶数位为正 表达为： （n是第几个数，等式中的“（-1）”和“（-1）”表达这个数的符号）在数轴上，求2点间的距离共3钟方法：1. 大数-小数. 2.|小数-大数| 3.同侧：绝对值相减（大-小）；异侧：绝对值相加。2.6有理数加法：注意：运算符号和性质符号要用括号隔开。两数相加： 0和正数 至少 0和负 至少 两数为0 两数和为正 一正一负 一个 和为负 一正一负 一个 和为0 互为 两正 是正数 两负 是负数 一正一负 相反数 a0，b0，ab |a+b|a|+|b| a0，b0，|a|b|， a+b|a+b|a|+|b| a0，b0，a+b|a+b| a+b|a|+|b| a0，b0，|a|b|，a+b|a+b|a|+|b|. 简算方法：1. 同号结合2.同分母结合法 3.凑整法 4.相反数结合法 5.转化法：如0.56.整分结合法 （）特殊值法：就是设定一个或几个符合条件的数。2.7有理数的减法互为相反数的两个数相减，差为被减数的2倍。求差比大小：如a、b比较大小：若a-b0，则ab若a-b0，则ab若a-b0，则ab2.8有理数的加减混合运算只含加法运算的式子 . 代数几个正负数的和. 和读 读法一：按性质读，如：负8、正10、负6、负4的和 一号一读法 读法二：按运算意义都，如：负8加10减6减4 一号一用方法：省略加号和括号时，按照：同号为正，异号为负，如： 8-（-10）-（+10）+（-10）+（+10）解：原式8 + 10 - 10 - 10 + 102.9，有理数的乘法两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.有理数乘法法则：两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个不等于0的数相乘，首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.2.10有理数的除法乘积是1的两个数互为倒数。除以一个数，等于乘以这个数的倒数。注意：0不能作除数。有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.求倒数：1原数 0没有倒数。 当A0，A0任意数（0任意数=0）A0 当A0，因为没有数与0相乘等于除0以外的数所以无解。即：无数个解：A0 无解：A0倒数等于本身的数是1，0没有倒数. 0a1 a1/a A1 a1/a A1 a1/a -1a0 a1/a A-1 a1/a A1- a1/a若a、b同号或其中之一为0 ab=|ab|=|a|b|若a、b异号 ab|ab|=|a|b|或ab-|ab|-|a|b| 即 ab|ab|a|b|当a、b同号时（a、b0或a（b）0）a/b=|a/b|=|a|/|b|当a、b异号时 a/b=-|a/b|= - |a|/|b|除0外，互为倒数，积是1，相等商是1，即ab1（a、b互为倒数） ab1（a、b相等） ab-1（a-b）讨论：1.|a|/a+|b|/b+|c|/c的结果 2.a1/aa1/a的结果 3.（-1/36）（1/4+1/12-7/18-1/36）怎样运用乘法分配律。2.11有理数的乘方aaa（读作a的平方或a的2次方或a的2次幂）定义：求几个相同因数的积的简便运算称作乘方运算。注意：乘方是一种运算，乘方运算没有符号，由位置确定运算关系。比较 a+a=2a=a2 与 aa=a 和a+a+a=3a=a3 aaa=a aaa.aaa （N个a） 记作 ： a n是指数a是底数 整体叫做幂任何一个数都可以看做这个数本身的1次方。写出a、1的指数写出2、（-2）、-2、-（-2）的底数、指数、结果。比较1. 2、2、2、2 与2. （-2）、（-2）、（-2）、（-2）得到结论：正数的 次幂都是正数； 负数的 次幂是负数，负数的 次幂都是正数。了解：0无意义00（n0） A1（A0）1的任何次幂都是1（-1）的偶次幂都是1，奇次幂都是-1，即：分数乘方1.分数的乘方等于把分子分母分别乘方。 2. 带分数的乘方要先把带分数化成假分数。3. 分数的乘方要把分数加括号。 讨论：3（-3）得出结论：互为相反数的两个数的偶次幂相等。讨论2与（-2）的关系得出结论：如果互为相反数的两个数，它们的奇次幂也互为相反数。注意：任何一个数的偶次幂都是非负数！ 即a0，所以a最小值是 1-a有最（ ）值，a（ ）那么（a-2）最小值是（ ）a+2最小值是（ ）加减是 1 级运算乘除是 2 级运算乘方开方是3 级运算错位相加法：设S（和） 则 2S 则 2S-S *2是底数。2.12科学记数法一个大于10的数可表示为：a10其中：1|a|10 n是正整数（比原数整数位数少1），像这样的记数法就叫做科学记数法。科学记数法比较大小：先比较10的指数，指数大的数较大；指数相等，就比较第一个因数（a），第一个因数大的数较大。有实际意义的数改写成科学记数法，要带单位。2.13有理数的混合运算定义：一个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，称为有理数的混合运算。顺序：1. 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减2. 同级运算，按照从左至右的顺序进行3. 若有括号，就先算小括号里的，再算中括号的，之后算大括号里的，最后算括号外面的。2.14近似数和有效数字。定义：与实际完全符合的数叫做准确数 与实际数据非常接近的数称作近似数 一般的，一个近似数，四舍五入到某一位，就说这个数精确到那一位。 这时，从左边第一个不是0的数字起，到末尾数字为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。表现符号：表示约等于：精确度的说法：1. 保留到某一位 2.保留几位小数 3.保留1或0.1或0.01等等。4.保留几个有效数字特别的：科学记数法和以万亿为单位的数：近视度范围：求近视度的范围：用a0.0.5 小数部分0的个数：若a为整数，就没有0； 若a为小数，就有小数位数+1个0第三章知识结构 概念 字母表示数整 代数式 规范书写 列代数式式 求代数式的值 的 单项式 整式 多项式加 升降幂排列 同类项减 整数的加减 合并同类项 去、添括号数学思想1. 整体思想2.枚举法3.转化思想4.从特殊到一般5.设K法4.1 圆柱 柱体 棱柱 椎体 圆锥几 规则的 棱锥 多面体 何体 圆台 台体 棱台 球体 不规则的柱体：上下底全等且互相平棱柱侧面是矩形（底面是n边形就有几个矩形）有顶点上下底是多边形圆柱侧面是曲线没顶点上下底是圆形椎体：一端是尖的（交于一点）棱锥底是多边形侧面是三角形（n棱锥有n个）圆锥底面是圆侧面是曲面底面是n边形，则它是n棱柱（锥）共有几个面，就是几面体欧拉公式：顶点数面数棱数=24.5点、线段、射线、直线名称点线段射线直线图例定义无无线段一段无限延伸线段两端无限延伸表示方法大写字母，如A点（点A）线段AB或线段b射线AB（射线上任意两点）直线AB或直线b端点无210延伸（长）性无不能延伸可延长一端延伸，另一端反向延长两端无限延伸长度无可度量不可度量不可度量点和线的位置 点在线上（直线经过点） 点在线外（直线不经过点） 连结XX画线段 延长线用虚线 反向延长AB就是延长BA 过一点可以画无数条直线 两条直线相交只有一个交点 直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线） 线段公理：两点之间线段最短 三角形任意两边长度大于第三边 两点间的距离就是两点间线段的长度 三（n）点处于同一条直线（3/n点共线），这（3/n）个点只能确定一条直线 平面内，有n个点（n3），最少的1条直线（n点共线），最多有二分之n（n1）线段的中点-点在线上即：一条线段上的点，把这条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。4.6角角的表示方法 三字母表示法（角的顶点字母在中间）AOB单字母表示法（顶点字母）O 数字表示法1小写希腊字母、分角用，复角只能用角的分类角度：一个圆分成360份，一份就是1把1度分成60份，一份就是1把一份分成60份，一份就是1 锐角（090 直角（=90） 钝角（90180） 平角（=180） 周角（=360） 优角角的特殊关系互余：与角度有关，与位置无关，只是两个角的度数关系。 锐角有余角，且都是锐角，锐角的余角与自身的关系不能确定。同一个角的余角有两个，且是相等的两个角等角的余角相等互补：与角度有关，与位置无关，只是两个角的度数关系。 邻补角=相邻的补角 有公共定点和一条边 另一条互为反向延长线同角（等）的补（余）角相等。一个锐角的补角比它的余角大90邻补角的平分线的夹角是904.7相交线垂线段：线外一点，与直线的垂直线段。垂线段公理：垂线段最短。点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度。相交线中的角： 同位角：截线同侧，被截线同方（F） 内错角：截线两侧，被截线之间（Z） 同旁内角：截线同侧，被截线之间（U）解题思路：分离基本图形。4.8平行线 相交（只有一个交点）两直线位置关系 重合（无数个，一般不研究） 平行（无交点）平行线具有传递性。交点：同平面内有n条直线（可不两两相交）：最少0个，最多n(n-1)个若必须相交：最少1个，最多n(n-1)个平行线判定：判定方法：1、公理：同位角相等，两直线平行。 2、定理：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。平行于同一直线的两直线平行。同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行。两角的边平行或垂直，两角相等或互补。n条直线相交于一点，有n(n-1)对对顶角。数 统计表（具体）据的 条形（数量多少）（也叫“频数分布直方图”）表 统计图（直观） 折现（数量变化）示 扇形（数量所占份额）第六七八单元复习、归纳一元一次方程概念/隐含条件只含有一个未知数的等式；未知数次数为一；整式：等号左右两边都是整式;变形后任要符合。思想方法整体思想，转化思想例题1、数字问题；2、几何问题；3、储蓄问题；4、变化率问题；5、行程问题；标准形式ax=b（a=0，b=0，x任意；a=0，b0，无解；a0，b=0，x=0；a0，b0，x=b/a)解方程格式、步骤写解，去分母（就高不就低），去括号，移项，合并，系数化为1列的步骤审（已知、未知）；设（直接、间接）；找（相等关系）（从文字转化到数学）；列（方程）；解（解方程）；检验（合题意、不合题意舍去）；答（问题）解只有一个解（根）性质1、在等式的左右两边都加上或减去同一个数（同一个整式），等式仍然成立。2、在等式两边同时乘或除以（0除外）同一个数，等式仍然成立.二元一次方程（组）概念、隐含条件二元一次方程：未知数系数不为0；未知数次数为一；整式方程；含有两个未知数；整理变形后任然符合。二元一次方程组：含有相同的两个未知数的方程结合在一起思想方法转化法；整体思想；例题行程问题；盈亏问题；年龄问题；几何问题；工程问题；储蓄问题；数字问题；浓度问题；变化率问题；劳力分配问题；方案设计问题；售价问题；调配问题标准形式一元一次方程ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b不为0）；一元一次方程组：a1xb1yc1a2xb2yc2解方程（组）格式、步骤二元一次方程（组）1、编；2、变；3、代/加/减（消元）；4、求；5、写（联立）列的步骤审（已知、未知）；设（直接、间接）；找（相等关系）（从文字转化到数学）；列；解（解方程；可写解之得）；检验（合题意、不合题意舍去）；答（问题）解二元一次方程：无限制时，有无数组解。二元一次方程组：3种情况：无数解（a1:a2=b1:b2=c1:c2)；唯一解(a1:a2b1：b2)；无解(a1:a2=b1:b2c1:c2)；（可用换元法）解题主要思想：消元（转化）二元变一元；有代入消元法（未知数系数为1；未知项相同）和加减消元法（未知数系数绝对值相等；未知数系数成倍数关系）。一 元一次不等式不等号；思想法转化；例题方程（组）与不等式（组）结合；价格问题；运输问题；制造问题性质若ab：acbc；c0，acbc,a/cb/c;c0，a/cb/a,acbc;c=0,ac=bc;c0,acbc;c0，acbc列的步骤审（题）；设（一个未知数）；找（不等关系）（从文字转化到数学）；列（不等式（组）；解（解不等式（组）；可写解之得）；讨论取值；检验（合题意、不合题意舍去）；答（问题）解/解集表达：xa;xa;xa;xa;axb，在数轴上表达；解集的确定：同大取大，同小取小，大小、小大中间找，大大、小小找不到。一元一次方程一、 方程：含有未知数的等式叫做方程二、 方程的解与解方程：方程的解是能使等式两边结果相等的值，而解方程式求解值的过程三、 一元一次方程 只含一个未知数未知数的次数为1 左右两边都是等式四、 等式的性质若a=b则a+2=b+2 2a=2b即：在等式两边都加上或减去同一个数，或同一个等式，等式仍然成立 在等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 移项是指方程中某些项，改变符号后，从一边移到另一边的变形过程。 移项要变号。 移项与在同侧交换位置不同。 未知项移到左边，已知项（常数项）移到右边。 方程两边同时除以未知数的系数的过程叫做系数化为1。 5（x+2）=2（5x-1）完全平方公式：（XY）=X2XY+Y平方差公式：（X+Y）(X-Y)=X-Y解： 5X+10=10X-2去括号（恒等变形）5X-10X=-2-10移项（等式的性质）-5X=-12合并同类项（变形）X=12/5系数化为1（等式的性质）例题一元一次方程行程问题：甲、乙两运动员在400米的环形跑道上练习跑步，已知甲每分钟跑180米，乙的速度是甲的2/3。（1） 如果两人同时由同一起点出发，反向而行，那么经过多少分钟两人首次相遇？（2） 如果两人同时由同一起点出发，同向而行，那么经过多少分钟两人首次相遇？数字问题：一个两位数，个位与十位上的数字之和为12，如果交换个位与十位数字，则新数比原数大36，则原来的两位数是多少？几何问题：一块长宽高分别为4cm，3cm，2cm的长方形橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2cm的圆柱，它的高是多少？（取3）储蓄问题：小明的爸爸前年存了年利率为2.43的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值为38.88元的计算器。问小明的爸爸前年存了多少元钱？变化率问题：某工厂甲、乙两车间计划每月共生产3600个零件，由于改进了加工技术，产量大幅提高，上月甲车间的产量比原计划增长12，乙车间的产量比原计划增长10，因此共生产4000个零件。求甲、乙两个车间上月实际各生产多少个零件？二元一次方程（组）几何问题：已知ABC是等边三角形，AB=2X-8,BC=15-Y,AC=Y-X+4求X2-Y2/X2+Y2行程问题：某人在规定时间类由乙地赶往甲地，如果他以50km/h的速度行驶,会迟到24分钟，如果他以75km/h的速度行驶,会提前24分钟，求甲乙两地的距离工程问题：某乳制品厂，现有鲜奶10吨，若直接销售，每吨获利500元；制成酸奶，每吨获利1200元；若制成奶粉，每吨获利2000元，本厂生产能力是：每天加工酸奶3吨或每天加工奶粉1吨（两种不能同时进行），受气温限制，这批鲜奶要在4天内加工销售完，请问该厂怎样生产获利最多？售价问题：小明和妈妈一起上街买西瓜，街上的西瓜有大中小三种，论个卖。买卖问了一下价钱，发现4个大西瓜2个中西瓜，1个小西瓜要50元；2个大西瓜4个中西瓜，5个小西瓜要40元.妈妈问小明：买大中小西瓜各1个共要多少钱？调配问题：父亲现在的年龄比儿子的三倍大一岁，3年前父亲的年龄比儿子的4倍小1，这现在父亲和儿子现在的年龄各是多少？劳力分配问题：驴和骡子一同走，他们驮着不同袋数的货物，每袋货都一样重，驴子说：如果你给我一袋，我就是你的两倍；如果我给你一袋，我们驼得一样多。那么驴子原来说驼的货物有几袋？方案设计问题：为迎接2008奥运会，某工艺厂生产奥运会标志“中国印”和“福娃”，用料如下：甲原料乙原料中国印43福娃510该厂有甲原料20000盒、乙原料30000盒，问若原料全部用完，该厂能生产多少“中国印”和“福娃”？一元一次不等式（组）方程（组）与不等式（组）结合：有红、绿两种颜色的灯泡若干个，已知绿灯比红灯少，但绿灯的两倍比红灯更多，若把一个绿灯记为2，每个红灯记为3，则所有灯泡的总计数为60，问红绿灯各多少个？价格问题：苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5的苹果为正常损耗，为避免亏本，商家应至少把售价定为多少？运输问题：现有食物30吨，衣物13吨，准备用AB两种货车运走，已知甲型每辆运食物5吨和衣物1吨；乙型每辆运食物5吨，衣物2吨，共有9辆车。要使这些东西一次性运走，共有几种方案？制造问题：为迎接2008奥运会，某工艺厂生产奥运会标志“中国印”和“福娃”，用料如下：甲原料乙原料中国印43福娃510该厂有甲原料20000盒、乙原料30000盒，问，该厂最多能生产多少“中国印”和“福娃”？几何问题：已知一个等腰三角形的底边为5，这个等腰三角形的腰为X，则X的取值范围是什么？方案设计问题：某出租车公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要卖3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆7万元，公司可投放的购车款不超过55万元。（1） 符合公司要求的购买方案有几种？（2） 如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的租金为110元，假设购买的这10辆车每天都可以租出去，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选哪种方案？出租车类：某城市的出租车起步价为10元（5千米内），超出5km，每千米加价1.2元（不足1km按1km算）现在某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，求甲乙两地的距离。第九章三角形内角和是180，外角和是360分类： 不等边 按边分 两边相等（两底角相等，等边对等角） 等腰 三边相等（正，等边，角=60） 锐角：03个角90（3个锐角，至少有一个角大于60） 按角分 Rt.：90=一个角（一个直角两个锐角） 钝角：一个角90（一钝两锐） A+BC三个角的关系 A+BC A+BC类型角平分线中线（把三角形面积平分）高线锐角交点在三角形内交点在三角形内交点在三角形内Rt.交点在直角顶点处钝角三条高延长线交于外部一点三角形线的特殊关系三角形2内角平分线形成的夹角钝角：90+第三角；锐角：90第三角三角形2外角平分线形成的夹角90第三角三角形1内角平分线与1外角角平分线形成的夹角内角的顶角2形成的角两高线夹角180第三角三角形三边关系第一边a，第二边b，第三边x，则|a-b|xa + b等腰三角形腰x1底x2 取值范围：锐角3直角3钝角3边：14边：35n边：n则， x1 0x2多边形内角和公式：（n-2）180多边形外角和公式：180n-（n-2）180内外角的取值范围：0180N边形各种角的个数密铺一、 同一种正多边形：3、4、6二、 同种的：一般或一般四边形三、 两种正多边形组合（需要边长相等同一拼接处形成周角）：形状个数是否延展3、43、24、81、2