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内容简介：

第一章 1.1 1.1.1A级基础巩固一、选择题1已知函数f(x)x24上两点A、B，xA1，xB1.3，则直线AB的斜率为(B)A2B2.3C2.09D2.1解析f(1)5，f(1.3)5.69.kAB2.3，故应选B2已知函数f(x)x2x，则f(x)从1到0.9的平均变化率为(D)A3B0.29C2.09D2.9解析f(1)(1)2(1)2.f(0.9)(0.9)2(0.9)1.71.平均变化率为2.9，故应选D3一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)x22x，则S(x)从2到2x的平均速度为(B)A2xB2xC2xD(x)22x解析S(2)22220，S(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，2x，故应选B4已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x，f(1x)，则(B)A4B42xC42(x)2D4x解析yf(1x)f(1)2(1x)21212(x)24x，所以2x4.二、填空题5已知函数yx32，当x2时，_(x)26x12_.解析(x)26x12.6在x2附近，x时，函数y的平均变化率为.解析.三、解答题7已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系s2t22t，求：(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)该质点在2s到3s内的平均速度解析(1)ss(3)s(0)24，t3，8(m/s)(2)ss(3)s(2)12，t1，12(m/s)B级素养提升一、选择题1在x1附近，取x0.3，在四个函数yx、yx2、yx3、y中，平均变化率最大的是(B)ABCD解析x0.3时，yx在x1附近的平均变化率k11；yx2在x1附近的平均变化率k22x2.3；yx3在x1附近的平均变化率k333x(x)23.99；y在x1附近的平均变化率k4.k3k2k1k4，故应选B2汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(C)Av2v3v1Bv1v2v3Cv1v2v3Dv2v3v1解析v1kOA，v2kAB，v3kBC，由图象易知kOAkABkBC，v1v20，k1k2.在x2附近yx3的平均变化率较大6若函数yf(x)x2x在2,2x(x0)上的平均变化率不大于1，求x的取值范围.解析函数yf(x)在2,2x上的平均率为3x，由3x1，得x2.又x0，x0，即x的取值范围是(0，)第一章 1.1 1.1.2A级基础巩固一、选择题1若f(x)x3，f (x0)3，则x0的值为(C)A1B1C1D3解析f (x0)(x)23x0x3x3x3，x01.2已知函数f(x)在区间(a，b)内可导，且x0(a，b)，则(B)Af (x0)B2f (x0)C2f (x0)D0解析由2f (x0)故选B3如果质点A按照规律s3t2运动，则在t03时的瞬时速度为(B)A6B18C54D81解析s(t)3t2，t03，ss(t0t)s(t0)3(3t)233218t3(t)2183t.(183t)18，故应选B4(2017郑州高二检测)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足1，则f (0)(B)A2B1C1D2解析f(x)图象过原点，f(0)0，f (0)1，选B二、填空题5设函数f(x)，则等于.解析().6函数yx在x1处的导数是_0_.解析yx1，.y|x10.三、解答题7设f(x)在R上可导，求f(x)在xa处与f(x)在xa处的导数之间的关系. 解析设f(x)g(x)，则f(x)在a处的导数为g(a)，于是g(a)而f (a)，令xt，则当xa时，ta，f (a)g(a)，这说明f(x)在xa处的导数与f(x)在xa处的导数互为相反数B级素养提升一、选择题1质点M的运动规律为s4t4t2，则质点M在tt0时的速度为(C)A44t0B0C8t04D4t04t解析ss(t0t)s(t0)4(t)24t8t0t，4t48t0，(4t48t0)48t0.2已知f(x)，且f (m)，则m的值等于(D)A4B2C2D2解析f (x)，于是有，m24，解得m2.二、填空题3已知y，则y|x1.解析由题意知y，.y|x1.4某物体做匀速运动，其运动方程是svtb，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是_相等_.解析v0v.三、解答题5(1)已知函数yf(x)138xx2，且f(x0)4，求x0的值(2)已知函数yf(x)x22xf(0)，求f(0)的值.解析(1)f(x0)(82x0x)82x04，x03.(2)f(0)x2f(0)2f(0)，f(0)0.第一章 1.1 1.1.3A级基础巩固一、选择题1已知函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程是x2y10，则f(1)2f (1)的值是(D)A B1C D2解析(1，f(1)在直线x2y10上，12f(1)10，f(1)1.又f (1)，f(1)2f (1)122.故选D2曲线yx3x2在P点处的切线平行于直线y4x1，则切线方程为(D)Ay4xBy4x4Cy4x8Dy4x或y4x4解析y(x)23xx3x213x21.由条件知，3x214，x1，当x1时，切点为(1,0)，切线方程为y4(x1)，即y4x4.当x1时，切点为(1，4)，切线方程为y44(x1)，即y4x.3已知曲线y2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于(D)A0B2C4D6解析y2(1x)32136x6(x)2(x)3，(x)26x66，故选D4(2016济宁高二检测)设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于(A)A1BCD1解析y|x1(2aax)2a，2a2，a1.5(2017汉中高二检测)曲线yx32在点处切线的倾斜角为(B)A1BCD解析yx2xx(x)2x2，切线的斜率ky|x11.切线的倾斜角为，故应选B6设f (x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线(B)A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴斜交解析由导数的几何意义知B正确，故应选B二、填空题7已知f(x)x23xf (2)，则f (2)_2_.解析由导函数的定义可得f (x)2x3f (2)，f (2)43f (2)，f (2)2.8曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_54_. 解析因为f (3)27，所以在点(3,27)处的切线方程为y2727(x3)，即y27x54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，54)所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S25454.三、解答题9求曲线y上一点P处的切线方程.解析y.y|x4，曲线在点P处的切线方程为：y(x4)即5x16y80.10已知曲线yf(x)x上一点A(2，)，用导数定义求函数yf(x)：(1)在点A处的切线的斜率；(2)在点A处的切线方程解析(1)yf(2x)f(2)2x(2)x，1，1，故点A处的切线的斜率为.(2)切线方程为y(x2)，即3x4y40.B级素养提升一、选择题1(2016开封高二检测)已知yf(x)的图象如图，则f (xA)与f (xB)的大小关系是(B)Af (xA)f (xB)Bf (xA)f (xB)Cf (xA)f (xB)D不能确定解析由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f (xA)f (xB)，选B2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为(A)A1，B1,0C0,1D，1解析考查导数的几何意义由导数的定义可得y2x2，且切线倾斜角0，切线的斜率k满足0k1，即02x21，1x.二、填空题3如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则_2_.解析由导数的概念和几何意义知，f (1)kAB2.4过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程为_xy20_.解析易知(2,0)不在曲线y上，令切点为(x0，y0)，则有y0.又y，所以y|xx0，即切线方程为y(x2)，而由可得x01，故切线方程为yx20.三、解答题5(2016天津联考)设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.解析yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.当x无限趋近于零时，无限趋近于3x2ax09.即f (x0)3x2ax09，f (x0)3(x0)29.当x0时，f (x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，a3.6已知直线l：y4xa和曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标.解析设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，f(x)3x24x，kf(x0)3x4x0.由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切点的坐标为(，)或(2,3)当切点为(，)时，有4()a，解得a.当切点为(2,3)时，有342a，解得a5.当a时，切点坐标为(，)；当a5时，切点坐标为(2,3)C级能力拔高已知曲线f(x)x21和g(x)x3x在其交点处两切线的夹角为，求cos. 解析由得x3x2x10，即(x1)(x21)0，解得x1，所以交点P(1,2)因为f(1)2，所以其切线l1的方程为y22(x1)，即y2x.因为g(1)4，所以其切线l2的方程为y24(x1)，即y4x2.取切线l1的方向向量为a(1,2)，切线l2的方向向量为b(1,4)，则cos.第一章 1.2 1.2.1A级基础巩固一、选择题1已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为(D)ABCD解析s2t，s|t24，故选D2下列结论中不正确的是(B)A若yx4，则y|x232B若y，则y|x2C若y，则y|x1D若yx5，则y|x15解析()(x)xy|x2.故B错误3若f(x)，则f(1)(D)A0BC3D解析f(x)x，f(x)xf(1)(1)，选D4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有(B)A1条B2条C3条D不确定解析f(x)3x2，3x21，解得x，故存在两条切线，选B5已知f(x)x，若f (1)2，则的值等于(A)A2B2C3D3解析若2，则f(x)x2，f (x)2x，f (1)2(1)2适合条件故应选A6(2016长春高二检测)曲线yx3在x1处切线的倾斜角为(C)A1BCD解析yx3，y|x11，切线的倾斜角满足tan1，00)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*，若a116，则a1a3a5的值是_21_.解析y2x，在点(ak，a)的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.三、解答题5已知曲线C：y经过点P(2，1)，求(1)曲线在点P处的切线的斜率(2)曲线在点P处的切线的方程(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程解析(1)将P(2，1)代入y中得t1，y.，曲线在点P处切线的斜率为ky|x21.(2)曲线在点P处的切线方程为y11(x2)，即xy30.(3)点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k，由于y0，x0，切点M(，2)，切线斜率k4，切线方程为y24(x)，即y4x.6求曲线y与yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.解析两曲线方程联立得解得k1|x11，k22x|x12，两切线方程为xy20,2xy10，所围成的图形如图所示两直线与x轴交点分别为(2,0)，(，0)S1.C级能力拔高求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.解析解法1：设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线的切点到直线xy20的距离最短y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为(，)，所求的最短距离d.解法2：设与抛物线yx2相切且与直线xy20平行的直线l的方程为xym0(m2)，由得x2xm0.直线l与抛物线yx2相切，判别式14m0，m，直线l的方程为xy0，由两平行线间的距离公式得所求最短距离d.解法3：设点(x，x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|(x)2.当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.第一章 1.2 1.2.2A级基础巩固一、选择题1函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于(D)A1 B2 C3 D4解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y|x14.2曲线yln(x2)在点P(1,0)处的切线方程是(A)Ayx1Byx1Cy2x1Dy2x1解析yln(x2)，y，切线斜率ky|x11，切线方程为y01(x1)，即yx1.3设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为(B)ABCD1解析对yxn1(nN*)求导得y(n1)xn，令x1得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn.则x1x2xn，故选B4(2016泉州高二检测)若f(x)sincosx，则f ()等于(A)AsinBcosCsincosDcossin解析f(x)sincosx，f (x)sinx，f ()sin，故选A5设函数f(x)xmax的导数为f (x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是(A)ABCD解析f(x)xmax的导数为f (x)2x1，m2，a1，f(x)x2x，f(n)n2nn(n1)，数列(nN*)的前n项和为：Sn1，故选A6(2016邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f (x)的图象大致形状是(B)解析依题意可设f(x)ax2c(a0)，于是f (x)2ax，显然f (x)的图象为直线，过原点，且斜率2a0时，x0时，f (x)ex11，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f (1)2，所以切线方程为y22(x1)，即y2x.三、解答题9求下列函数的导数：(1)yx(x2)；(2)y(1)(1)；(3)ysin4cos4；(4)y .解析(1)yxx31，y3x2.(2)y(1)xx，yxx.(3)ysin4cos422sin2cos21sin21cosx，ysinx.(4)y2，y.10已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线的方程为x2y50，求函数的解析式.解析由于(1，f(1)在切线上，12f(1)50，f(1)2.f(x)，解得a2，b3(b10，b1舍去)故f(x).B级素养提升一、选择题1已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)2xf (e)lnx，则f (e)(C)Ae1B1Ce1De解析f(x)2xf (e)lnx，f (x)2f (e)，f (e)2f (e)，解得f (e)，故选C2曲线yxsinx在点处的切线与x轴、直线x所围成的三角形的面积为(A)AB2C22D(2)2解析曲线yxsinx在点处的切线方程为yx，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(，0)，C(，)，三角形面积为.二、填空题3(2016太原高二检测)设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f (x)是奇函数，则.解析f (x)sin(x)，f(x)f (x)cos(x)sin(x)2sin.若f(x)f (x)为奇函数，则f(0)f (0)0，即02sin，k(kZ)又(0，)，.4(2015陕西理，15)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_(1,1)_.解析设f(x)ex，则f (x)ex，所以f (0)1，因此曲线f(x)ex在点(0,1)处的切线方程为y11(x0)，即yx1；设g(x)(x0)，则g(x)，由题意可得g(xP)1，解得xP1，所以P(1,1)故本题正确答案为(1,1)三、解答题5偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式.解析f(x)的图象过点P(0,1)，e1.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，切点为(1，1)ac11.f (x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函数yf(x)的解析式为f(x)x4x21.6已知f(x)x3bx2cx(b，cR)，f (1)0，x1,3时，曲线yf(x)的切线斜率的最小值为1，求b，c的值.解析f (x)x22bxc(xb)2cb2，且f (1)12bc0.(1)若b1，即b1，则f (x)在1,3上是增函数，所以f (x)minf (1)1，即12bc1.由解得b，不满足b1，故舍去(2)若1b3，即3b1，则f (x)minf (b)1，即b22b2c1.由解得b2，c3或b0，c1.(3)若b3，即b3，则f (x)在1,3上是减函数，所以f (x)minf (3)1，即96bc1.由解得b，不满足b3，故舍去综上可知，b2，c3或b0，c1.C级能力拔高(2016德州模拟)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解析(1)f(x)a，又根据切线方程可知x2时，y，y，则有，解.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.第一章 1.3 1.3.1A级基础巩固一、选择题1在下列结论中，正确的有(A)(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的A0个B2个C3个D4个解析分别举反例：(1)ylnx，(2)y(x0)，(3)y2x，(4)yx2，故选A2函数f(x)ax3x在R上为减函数，则(A)Aa0Ba1Ca2Da解析f (x)3ax210恒成立，a0.3(2017宣城高二检测)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是(B)A0B1C2D3解析本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力f(x)2xx32,0x0在(0,1)上恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增又f(0)200210，f(0)f(1)0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数yf(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点4下列函数中，在(0，)内为增函数的是(B)AysinxByxe2Cyx3xDylnxx解析对于B，yxe2，则ye2，yxe2在R上为增函数，在(0，)上也为增函数，选B5(2017临沂高二检测)已知函数yf(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(B)解析由导函数图象可知函数在1,1上为增函数，又因导函数值在1,0递增，原函数在1,1上切线的斜率递增，导函数的函数值在0,1递减，原函数在0,1上切线的斜率递减，选B6若f(x)，eaf(b)Bf(a)f(b)Cf(a)1解析因为f(x)，当xe时，f(x)0，则f(x)在(e，)上为减函数，因为eaf(b)选A二、填空题7(2016烟台高二检测)函数yln(x2x2)的单调递减区间为_(，1)_. 解析函数yln(x2x2)的定义域为(2，)(，1)，令f(x)x2x2，f (x)2x10，得x0，可得x；令f (x)0，可得3x.函数f(x)的单调增区间为(，3)，(，)，单调减区间为(3，)10(2017长沙高二检测)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex.设f(x)在区间1,1上是单调函数，求a的取值范围.解析f(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exexx22(1a)x2a令f(x)0，即x22(1a)x2a0，解x1a1，x2a1，其中x1x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值a0，x11，x20.f(x)在区间(x1，x2)上单调递减，x21，即a11，a.B级素养提升一、选择题1设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是(D)A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)解析设F(x)f(x)g(x)，当x0.F(x)当x0时为增函数F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)故F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上亦为增函数已知g(3)0，必有F(3)F(3)0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)0的解集为x(，3)(0,3)故选D2设函数F(x)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f (x)满足f (x)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)Bf(2)e2017f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2017)e2f(0)，f(2017)e2017f(0)解析函数F(x)的导数f (x)0，函数F(x)是定义在R上的减函数，F(2)F(0)，即，故有f(2)e2f(0)同理可得f(2017)e2017f(0)故选C3(2016全国卷文，12)若函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，则a的取值范围是(C)A1,1B1，C，D1，解析函数f(x)xsin2xasinx在(，)单调递增，等价于f (x)1cos2xacosxcos2xacosx0在(，)恒成立设cosxt，则g(t)t2at0在1,1恒成立，所以，解得a.故选C二、填空题4已知函数f(x)x3ax2(2a3)x1.(1)若f(x)的单调减区间为(1,1)，则a的取值集合为_0_(2)若f(x)在区间(1,1)内单调递减，则a的取值集合为_a|a0_解析f (x)3x22ax2a3(x1)(3x2a3)(1)f(x)的单调减区间为(1,1)，1和1是方程f (x)0的两根，1，a0，a的取值集合为0(2)f(x)在区间(1,1)内单调递减，f (x)1，a0，a的取值集合为a|a0三、解答题5(2017驻马店高二检测)已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1)若a1，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若a1，求f(x)的单调区间解析(1)因为f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e.又因为f(1)e，所以所求切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)f(x)(x2x1)ex，因为f(x)x(x1)ex，令f(x)0，得x0；f(x)0得1x0)若函数yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直.(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f (x)1，f (1)2，2a2a30，a0，a.(2)f (x)1，当x(0，)时，f (x)0，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)C级能力拔高(2016广德高二检测)已知函数f(x)x22alnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围解析(1)f (x)2x，函数f(x)的定义域为(0，)当a0时，f (x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时f (x).当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下：x(0，)(，)f (x)0f(x)递减递增由表格可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)(2)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，x1,2，则h(x)2x(2x)0，h(x)在1,2上为减函数h(x)minh(2)，a，故a的取值范围为a|a第一章 1.3 1.3.2A级基础巩固一、选择题1已知函数yf(x)在定义域内可导，则函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D非充分非必要条件解析根据导数的性质可知，若函数yf(x)在这点处取得极值，则f (x)0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)x3在R上是增函数，f (x)3x2，则f (0)0，但在x0处函数不是极值，即充分性不成立故函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B2函数y2x36x218x7(A)A在x1处取得极大值17，在x3处取得极小值47B在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47C在x1处取得极小值17，在x3处取得极大值47D以上都不对解析y6x212x18，令y0，解得x11，x23.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况见下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f (x)00f(x)极大值极小值当x1时，f(x)取得极大值，f(1)17，当x3时，f(x)取得极小值，f(3)47.3函数yx4x3的极值点的个数为(B)A0B1C2D3解析yx3x2x2(x1)，由y0得x10，x21.当x变化时，y、y的变化情况如下表x(，0)0(0,1)1(1，)y00y无极值极小值故选B4已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y3xx3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)A2B1C1D2解析a、b、c、d成等比数列，adbc，又(b，c)为函数y3xx3的极大值点，c3bb3，且033b2，或ad2.5已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是(C)A1a2B3a6Ca6Da2解析f (x)3x22axa6，f(x)有极大值与极小值，f (x)0有两不等实根，4a212(a6)0，a6.6(2016福州高二检测)函数f(x)x的极值情况是(D)A当x1时，极小值为2，但无极大值B当x1时，极大值为2，但无极小值C当x1时，极小值为2，当x1时，极大值为2D当x1时，极大值为2；当x1时，极小值为2解析函数定义域为x|x0，f(x)1，令f(x)0，解x1，函数f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,0)和(0,1)上单调递减，当x1时，极大值为2，当x1时，极小值为2.选D二、填空题7函数yxex在其极值点处的切线方程为y.解析yf(x)xexf (x)(1x)ex，令f (x)0x1，此时f(1)，函数yxex在其极值点处的切线方程为y.8若函数f(x)x32mx2m2x在x1处取得极小值，则实数m_1_. 解析f (x)(3xm)(xm)由题意得：f (1)(3m)(1m)0m3或m1.经检验知，当m3时，在x1处取得极大值当m1时，在x1处取得极小值m1.三、解答题9若a0，试求函数f(x)ax3x2a2x22ax的单调区间与极值.解析f(x)ax3x2a2x22ax，f (x)2ax22x2a2x2a2(ax2xa2xa)2(xa)(ax1)令f (x)0，可得x或xa.若a0，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，a)a(a，)f (x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以f(x)在区间(，)，(a，)内为减函数，在区间(，a)内为增函数函数f(x)在x处取得极小值f()1，在xa处取得极大值f(a)a2a4.若a0，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，)(，)f (x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间(，a)，(，)内为增函数，在区间(a，)内为减函数函数f(x)在xa处取得极大值f(a)a2，在x处取得极小值f()1.10已知函数f(x)(x2bxb)(bR).(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围解析(1)当b4时，f(x)(x2)2的定义域为(，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.当x(，2)时，f (x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f (x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x2取极小值f(2)0，在x0取极大值f(0)4.(2)f (x)，因为当x(0，)时，0，依题意当x(0，)时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以b的取值范围为(，B级素养提升一、选择题1(2016日照高二检测)已知函数f(x)ex(sinxcosx)，x(0,2013)，则函数f(x)的极大值之和为(B)ABCD解析f (x)2exsinx，令f (x)0得sinx0，xk，kZ，当2kx0，f(x)单调递增，当(2k1)x2k时，f (x)0，f(x)单调递减，当x(2k1)时，f(x)取到极大值，x(0,2013)，0(2k1)2013，0k0(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有_. fff(0)f f0，g(x)在上单调递增，故得gg，g(0)f，f(0)f，ff，错误，正确；正确；又gg，即，ff，正确三、解答题5(2015北京文，19)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解析(1)由f(x)kln x，(k0)得，f (x)x.由f (x)0解得x(负值舍去)f(x)与f (x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f (x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间( 1，上仅有一个零点. 6已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f (x)x，令f (x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f (x)0，因此函数f(x)在(1，)上单调递增，则x1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x1处取得极小值为f(1).(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则f (x)x2x2，当x1时，f (x)0，故f(x)在区间1，)上单调递减，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方C级能力拔高设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解析(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，由题意可知当x(，)时，f(x)m恒成立，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根，解得a.第一章 1.3 1.3.3A级基础巩固一、选择题1(2016潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f (x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)(D)A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析函数f(x)满足x2f (x)2xf(x)，x2f(x)，令F(x)x2f(x)，则f (x)，F(2)4f(2).由x2f (x)2xf(x)，得f (x)，令(x)ex2F(x)，则(x)ex2f (x).(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0.(x)0.又x0，f (x)0.f(x)在(0，)上单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选D2(2017开滦二中高二检测)若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(B)A(0,1)B(，1)C(0，)D(0，)解析f (x)3x26b，f(x)在(0,1)内有极小值，在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f (x)0，由f (x)0得，x22b0，0b.3(2017临沂高二检测)函数y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是(A)A5，15B5，4C4，15D5，16解析令y6x26x120，得x1(舍去)或x2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，故选A4(2016德州高二检测)已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(A)Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)解析令F(x)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)0.所以F(x)0，F(x)在a，b上递减，F(x)maxf(a)g(a)5(2016长春高二检测)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是(D)A(，)B(2，)C(0，)D(1，)解析2x(xa)x，令yx，y是单调增函数，若x0，则y1，a1.6(2016安庆高二检测)已知函数f(x)x32ax23x(a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是(B)A3x15y40B1