人教A版选修1-1《2.1椭圆》课时提升作业含答案解析.zip
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课时提升作业
人教A版选修21
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人教A版选修1-1《2.1椭圆》课时提升作业含答案解析.zip,》课时提升作业,课时提升作业,人教A版选修21
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课时提升作业 九椭圆及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016青岛高二检测)已知椭圆x225+y216=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.2.(2016日照高二检测)已知椭圆x225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.32【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,则|MF|+|ME|=10,所以|ME|=8.又ON为MEF的中位线,所以|ON|=12|ME|=4.3.椭圆x2m+y24=1的焦距是2,则m的值是()A.5B.3或8C.3或5D.20【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.4.(2016淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为3,则这个椭圆的方程为()A.x212+y29=1B.x29+y212=1C.x212+y29=1或x29+y212=1D.以上都不对【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,因为PF1F2为正三角形,所以|OP|=32|F1F2|,可得b=3c,即a2-c2=3c.又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为3,所以a-c=3,联立,可得a=23,c=3,b=a2-c2=3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为x212+y29=1或x29+y212=1.5.已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且MF1MF2=0,则点M到x轴的距离为()A.233B.263C.33D.3【解题指南】由MF1MF2=0知MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由MF1MF2=0,得MF1MF2,可设|MF1|=m,|MF2|=n,在F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以SF1MF2=12mn=1,设点M到x轴的距离为h,则12|F1F2|h=1,又|F1F2|=23,故h=33.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.【解析】由题意可得a+c=3,a-c=1.所以a=2,c=1.故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为x24+y23=1.答案:x24+y23=17.设P是椭圆x216+y29=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=822=16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,故|PF1|PF2|的最大值是16.答案:168.如图所示,F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为3的正三角形,则b2=.【解析】由题意SPOF2=34c2=3,所以c=2,所以a2=b2+4.由题意得点P坐标为(1,3),把x=1,y=3代入椭圆方程x2b2+4+y2b2=1中得1b2+4+3b2=1,解得b2=23.答案:23三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由椭圆过点P(3,0),知9a2+0b2=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为x29+y2=1.当焦点在y轴上时,设其方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由椭圆过点P(3,0),知0a2+9b2=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为y281+x29=1.故椭圆的标准方程为y281+x29=1或x29+y2=1.10.(2016郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=45|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|,所以xP=x,且yP=54y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理得x225+y216=1,即点M的轨迹C的方程是x225+y216=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016郑州高二检测)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.m2B.1m2C.m-1或1m2D.m-1或1m0,2-m0,2-m|m|-1.即m1或m-1,m2,0m32或m0.所以1m32或mb0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为()A.x2144+y2108=1B.x2100+y275=1C.x236+y227=1D.x216+y212=1【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以(a-c)2+b2=2c,整理得2ca2+ca-1=0,所以ca=12.所以a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=3(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或85c,得M(0,-3c),N85c,335c,所以|MN|=165c=16,所以c=5,所以椭圆方程为x2100+y275=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016温州高二检测)已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则PF1F2的面积是.【解析】由已知得|F1F2|=2c=22,|PF1|+|PF2|=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF1F2是直角三角形,所以SPF1F2=12|F1F2|PF2|=2.答案:24.(2016唐山高二检测)已知椭圆C:x22+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点Al,线段AF交C于点B,若FA=3FB,则|AF|=【解题指南】设出A点的坐标,利用FA=3FB求出A点坐标,即可求出|AF|的大小.【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),FA=(1,y0),FB=(x1-1,y1),由FA=3FB,得(1,y0)=3(x1-1,y1),所以x1=43,y1=y03,又点B在椭圆C上,所以4322+y032=1,解得y0=1,所以A点坐标为(2,1),所以|AF|=(2-1)2+(1-0)2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016烟台高二检测)已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程.(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求F1PF2的余弦值.【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=14a2=c2=1,所以a2=4,b2=3,所以椭圆标准方程为y24+x23=1.(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.又由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=52,|PF2|=32,|F1F2|=2,cosF1PF2=522+322-2225232=35.6.(2016连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且BF1=CF1,求的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为x24+y2=1,所以a=2,b=1,c=3,即|F1F2|=23,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=422=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-3,0),由BF1=CF1得x0=3(1-),y0=-1.又x024+y02=1,所以有2+6-7=0,解得=-7或=1,C异于B点,故=1舍去.所以=-7.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|4+|BF2|,所以PBF1的周长4+|BF2|+|BF1|=8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最大,最大值为8.课时提升作业 十椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015广东高考)已知椭圆x225+y2m2=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.9B.4C.3D.2【解析】选C.由题意得:m2=25-42=9,因为m0,所以m=3.2.(2016烟台高二检测)椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0k9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选B.对于椭圆x29-k+y225-k=1(0kb0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()A.(3,0)B.(0,3)C.(5,0)D.(0,5)【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c=a2-b2=3.所以椭圆的焦点坐标是(3,0).4.(2016南昌高二检测)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()A.14B.55C.12D.5-2【解析】选B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=55.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.22B.2-12C.2-2D.2-1【解析】选D.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为F1(-c,0),所以P(-c,yP)代入椭圆方程得c2a2+yP2b2=1,所以yP2=b4a2,又因为b2=a2-c2,所以a2-c2a=2c,所以e2+2e-1=0,又0eb0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为502a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为13,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0).由2a=12,ca=13,得a=6,c=2,由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为y236+x232=1.答案:y236+x232=17.(2016济南高二检测)已知椭圆x25+y2m=1的离心率e=105,则m的值为.【解析】由椭圆的标准方程,易知m0且m5.若0m5,则a2=m,b2=5.由5m=1-1052=35,得m=253.所以m的值为3或253.答案:3或2538.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以OPFP=x0(x0+1)+y02=x0(x0+1)+31-x024=x024+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,OPFP取得最大值224+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则M(c,23b).代入椭圆方程,得c2a2+4b29b2=1,所以c2a2=59,所以ca=53,即e=53.【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,23b),则MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+49b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=4c2+49b2+23b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以b2a2=49.所以e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=59,所以e=53.10.(2016潍坊高二检测)如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率.(2)若AF2=2F2B,AF1AB=32,求椭圆的方程.【解析】(1)若F1AB=90,则AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=2c,e=ca=22.(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=a2-b2,设B(x,y).由AF2=2F2B(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2.将B点坐标代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.又由AF1AB=(-c,-b)3c2,-3b2=32b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016武汉高二检测)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,椭圆C与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于B(0,2),且BFBA=42+4,则椭圆C的方程为()A.x24+y22=1B.x26+y24=1C.x28+y24=1D.x216+y28=1【解析】选C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),所以BFBA=(c,-2)(a,-2)=ac+4=42+4,所以b=2,ac=42,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4.所以椭圆C的方程为x28+y24=1.2.(2016长春高二检测)如图,F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.32B.12C.22D.3-1【解析】选D.由题意知A-c2,3c2.把A代入椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),得c24a2+3c24b2=1,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得e4-8e2+4=0,所以e2=864-162=423.因为0e1,所以e=3-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率00,所以a21,所以1a2,故长轴长2b0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用kBFkCF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=b2与椭圆的方程联立得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),则kBF=b2-32a-c,kCF=b232a-c,因为BFC=90,所以kBFkCF=b2-32a-cb232a-c=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2e=ca=63.答案:63三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求PF1PF2的取值范围.【解析】由x29+y24=1,得F1(-5,0),F2(5,0),设P(x0,y0),则PF1=(-5-x0,-y0),PF2=(5-x0,-y0).所以PF1PF2=(x02-5)+y02.又x029+y024=1,所以y02=4-49x02,代入,得PF1PF2=59x02-1,因为0x029,所以059x025,所以-1PF1PF24,所以PF1PF2-1,4.【误区警示】本题易出现只注意到x020得出PF1PF2-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0-3,3.6.已知椭圆x2+y2b2=1(0b0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=12,所以椭圆的方程为x2+y212=1,即x2+2y2=1.课时提升作业 十一椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为3的弦AB,则弦AB的长为()A.67B.167C.716D.76【解析】选B.椭圆的方程可化为x24+y22=1,所以F(-2,0).又因为直线AB的斜率为3,所以直线AB的方程为y=3x+6.由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=87,所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167.2.AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则AFB面积的最大值为()A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.由AB过椭圆中心,则yA+yB=0,故SAFB=12(yA-yB)c=12|2yA|c=|yA|cbc,即当AB为y轴时面积最大.3.(2016济宁高二检测)如果椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减再变形得x1+x236+ky1+y29=0.又弦中点为(4,2),故k=-12,故这条弦所在的直线方程为y-2=-12(x-4),整理得x+2y-8=0.4.(2016衡水高二检测)如果AB是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kABkOM的值为()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,所以kABkOM=y2-y1x2-x1y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.【补偿训练】椭圆x216+y29=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.916B.932C.964D.-932【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1216+y129=1x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932.5.(2016郑州高二检测)在区间1,5和2,4上分别取一个数,记为a,b,则方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为()A.12B.1532C.1732D.3132【解析】选B.因为x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆,所以ab0,ab0).因为e=22,所以ca=22.根据ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22,所以椭圆方程为x216+y28=1.答案:x216+y28=17.(2016沈阳高二检测)椭圆x24+y23=1上有n个不同的点P1,P2,P3,Pn,椭圆的右焦点为F,数列|PnF|是公差大于1100的等差数列,则n的最大值为.【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列|PnF|是公差大于1100的等差数列,可求出n的最大值.【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d.若d=1100,n=201,d1100,nb0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF,又|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,解得|AF|=6.在ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F,连接AF,BF,根据椭圆的对称性,四边形AFBF为矩形,则其对角线|FF|=|AB|=10,且|BF|=|AF|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF|=2a,所以2a=|AF|+|AF|=6+8=14.故离心率e=ca=2c2a=57.答案:57三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时OAOB?此时|AB|的值是多少.【解析】(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b=22-(3)2=1.故曲线C的方程为y24+x2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足y=kx+1,y2+4x2=4.消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得x1+x2=-2kk2+4,x1x2=-3k2+4.若OAOB,则x1x2+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k2+4-2k2k2+4+1=-4k2-1k2+4=0,所以k=12.当k=12时,x1+x2=417,x1x2=-1217.所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42172+41217=4313172,所以|AB|=544313172=46517.10.(2016烟台高二检测)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若ACDB+ADCB=8,求k的值.【解析】(1)设F(-c,0),由ca=33,知a=3c.过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆方程为x23+y22=1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.所以x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为A(-3,0),B(3,0),所以ACDB+ADCB=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆x29+y24=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=4a2+b22,所以a2+b2b0)的左、
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