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八年级上第13章轴对称阶段方法技巧 上册第13章 轴对称 第2章 轴对称 八年级上册第二章 轴对称 八年级上册 第二章 八年级上册第二章

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内容简介：

专训1 分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答其解题策略为：先分类，再画图，后计算 当顶角或底角不确定时，分类讨论1若等腰三角形中有一个角等于40，则这个等腰三角形的顶角度数为()A40 B100C40或70 D40或1002已知等腰三角形ABC中，ADBC于D，且ADBC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A45 B75C45或75 D653若等腰三角形的一个外角为64，则底角的度数为_ 当底和腰不确定时，分类讨论4【2015荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A8或10 B8C10 D6或125等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为_6若实数x，y满足|x5|0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_ 当高的位置关系不确定时，分类讨论7等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求这个三角形的各个内角的度数 由腰的垂直平分线引起的分类讨论8在三角形ABC中，ABAC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B的度数21教育网 由腰上的中线引起的分类讨论9等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分求腰长www-2-1-cnjy-com 点的位置不确定引起的分类讨论10如图，在RtABC中，ACB90，AB2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()2-1-c-n-j-y(第10题)A7个B6个C5个D4个11如图，已知ABC中，BCABAC，ACB40，如果D，E是直线AB上的两点，且ADAC，BEBC，求DCE的度数21世纪*教育网(第11题)答案1D2.C3.324C5.23或256.257解：设ABAC，BDAC于点D.(1)当高与底边的夹角为25时，高一定在ABC的内部，如图，DBC25，C90DBC902565，ABCC65，A18026550.(2)当高与另一腰的夹角的为25时，如图，当高在ABC的内部时，ABD25，A90ABD65，CABC(180A)257.5；如图，当高在ABC的外部时，ABD25，BAD90ABD902565，BAC18065115，ABCC(180115)232.5，故三角形各内角的度数分别为：65，65，50或65，57.5，57.5或115，32.5，32.5.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外21cnjycom(第7题)8解：此题分两种情况：(1)如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，垂足为E，ADE40，则A50，ABAC，B(18050)265.(2)如图，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，垂足为E，ADE40，则DAE50，BAC130.ABAC，B(180130)225.故B的度数为65或25.(第8题)9解：BD为AC边上的中线，ADCD.(1)当(ABAD)(BCCD)3 cm时，则ABBC3 cm，BC5 cm，ABBC38 cm.(2)当(BCCD)(ABAD)3 cm时，则BCAB3 cm，BC5 cm，ABBC32 cm.但是当AB2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而225，不合题意，舍去故腰长为8 cm.点拨：由于题目中没有指明是“(ABAD)(BCCD)”为3 cm，还是“(BCCD)(ABAD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论2110B11解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图，(第11题)BEBC，BEC(180ABC)2.ADAC，ADC(180DAC)2BAC2.DCEBECADC，DCE(180ABC)2BAC2(180ABCBAC)2ACB240220.21cnjy(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D的位置，点E在E的位置时，如图，与(1)类似地也可以求得DCEACB220.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E的位置时，如图，BEBC，BEC(180CBE)2ABC2.ADAC，ADC(180DAC)2BAC2.又DCE180(BECADC)，DCE180(ABCBAC)2180(180ACB)290ACB290402110.【来源：21世纪教育网】(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D的位置时，如图，ADAC，ADC(180BAC)2.BEBC，BEC(180ABC)2.DCE180(DECEDC)180(BECADC)，180(180ABC)2(180BAC)2(BACABC)2(180ACB)2(18040)270.综上所述，DCE的度数为20或110或70.专训2 “三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程 利用“三线合一”求角1如图，房屋顶角BAC100，过屋顶A的立柱ADBC，屋檐ABAC.求顶架上的B，C，BAD，CAD的度数www-2-1-cnjy-com(第1题) 利用“三线合一”求线段2如图，在ABC中，ABAC，ADDB，DEAB于点E，若BC10，且BDC的周长为24，求AE的长(第2题) 利用“三线合一”证线段(角)相等3已知ABC中，BAC90，ABAC，D为BC的中点(1)如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BEAF，试判断DEF的形状，并说明理由(2)如图，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BEAF.请判断DEF是否仍有(1)中的形状，并说明理由21cnjycom(第3题) 利用“三线合一”证垂直4如图，在ABC中，AC2AB，AD平分BAC，E是AD上一点，且EAEC.求证：EBAB.21cnjy(第4题) 利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于点D.试说明：BF2CD.21教育网(第5题) 利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6如图，在ABC中，ADBC于点D，且ABC2C.试说明：CDABBD.(第6题)答案1解：因为ABAC，BAC100，ADBC，所以BC40，BADCAD50.【来源：21世纪教育网】2解：因为BDC的周长BDBCCD24，BC10，所以BDCD14.ADBD，ACADCDBDCD14.又ABAC14.ADDB，DEAB，AEEBAC7.3解：(1)DEF为等腰直角三角形理由：连接AD，易证BDEADF，DEDF，BDEADF，又BAC90，ABAC，D为BC的中点，ADBC.ADB90.EDFEDAADFEDABDEADB90.DEF为等腰直角三角形(2)是，理由略4证明：如图，过点E作EFAC于F.AEEC，AFAC.又ABAC，AFAB.AD平分BAC，FAEBAE.又AEAE，AEFAEB(SAS)ABEAFE90，即EBAB.(第4题)5解：如图，延长BA，CD交于点E.(第5题)BF平分ABC，CDBD，BDBD，BDCBDE.BCBE.又BDCE，CE2CD.BAC90，BDC90，AFBDFC，ABFDCF.又ABAC，BAFCAE90，ABFACE(ASA)BFCE.故BF2CD.6解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AEAB，所以AEBABC.21世纪教育网版权所有(第6题)又因为ADBC，所以AD是BE边上的中线，即DEBD.又因为ABC2C，所以AEB2C.而AEB180AECCAEC，所以CAEC.所以CEAEAB，故CDCEDEABBD.21专训3 等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系 作“三线”中的“一线”1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，过点A作EFBC，且AEAF，求证：DEDF.【来源：21世纪教育网】(第1题) 作平行线法2如图，在ABC中，ABAC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，P，Q与直线BC相交于点D.(1)如图，求证：PDQD；(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由21教育网(第2题) 截长(补短)法3如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外一点，且ABD60，ACD60.求证：BDDCAB.(第3题) 加倍折半法4如图，在ABC中，BAC120，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度数(第4题)答案1证明：如图，连接AD.ABAC，BDCD，ADBC.EFBC，ADEF.又AEAF，AD垂直平分EF.DEDF.(第1题)2(1)证明：如图，过点P作PFAC交BC于F.点P和点Q同时出发，且速度相同，BPCQ.PFAQ，PFBACB，DPFCQD.又ABAC，BACB.BPFB.BPPF.PFCQ.在PFD和QCD中，DPFDQC，PDFQDC，PFCQ，PFDQCD(AAS)，PDQD.21世纪教育网版权所有(2)解：ED的长度保持不变理由如下：如图，过点P作PFAC交BC于F.由(1)知PBPF.PEBF，BEEF.由(1)知PFDQCD，FDCD，EDEFFDBECDBC，ED为定值21cnjy(第2题)3证明：如图，延长BD至E，使BEAB，连接CE，AE.ABE60，BEAB，ABE为等边三角形AEB60.又ACD60，ACDAEB.ABAC，ABAE，ACAE.ACEAEC.DCED