北京师大附中2010届高三第四次月考试卷及答案.rar
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届高三第四次月考试卷
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第四次月考试卷
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师范大学附属中学高三
第四次月考试卷及答案
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北京师大附中2010届高三第四次月考试卷数 学（理科）本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共21个小题，考试时间120分钟，试卷满分150分.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集UR，集合，则 （ B ）A B C D 【解析】 由已知，所以，故选B.2.已知命题p：；命题q：，则下列命题为真命题的是 （ C ）A. pq B. p(q) C. (p)q D. p(q)【解析】因为当x0时，即，所以命题p为假，从而p为真.因为当时，即，所以命题q为真.所以(p)q为真，故选C.3.已知向量a，b，则“ab，R”成立的必要不充分条件是 （ D ）A. ab0 B. a与b方向相同 C. ab D. ab【解析】由ab，Rab；反之，当b0，a0时，ab，故选D.4.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是 （ B ）A. B. C. D.【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数的图象，故选B.5.南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐蚀剂的特种混凝土预制件.该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同.根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数.为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是 （ A ）A.5次 B.6次 C.7次 D.8次 【解析】因为，由分数法的最优性原理知，至多做5次试验就能找到其中的最佳点，故选A.6.设数列为等差数列，其前项和为，已知，若对任意nN*，都有成立，则k的值为 （ C ）A.22 B.21 C. 20 D.19【解析】设等差数列的公差为d，由，得，即.由，得，即.所以，.由，得，所以的最大值为，所以k20，故选C.7.已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意xR有成立，则 的值为 （ A ）A.0 B. 1 C.1 D. 2【解析】由已知，从而.又，则，所以是周期为4的周期函数，于是，故选A.8.设与是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意xa，b，都有成立，则称和在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”.若与在a，b上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ D ）A. 1，4 B. 2，4 C. 3，4 D. 2，3【解析】因为.由，得，解得，故选D.二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上.9.不等式的解集是 (1，0 【解析】由，得.10.计算： 4 .【解析】原式.11.已知点A(1，2)，直线(t为参数)与直线相交于点B，则A、B两点之间的距离|AB|.【解析】将代入，得，所以|AB|5t.DACBE12.如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则AB.【解析】设，由割线定理，得CACDCBCE，即.解得，因为AC是小圆的直径，则.4.34.44.54.64.74.84.95.05.1.75.20.10.3视力频率/组距13.随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如下图所示.已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生人数为 78 人.【解析】由直方图知，视力在4.34.4的频数为0.10.11001，视力在4.44.5的频数为0.30.11003.因为前四组的频数成等比数列，则视力在4.64.7的频数为13327.因为后6组的频数成等差数列，设公差为d，则，解得.故视力在4.65.0之间的学生人数为(人).14.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .【解析】因为定义域为，又，由，得. 据题意，解得ABCDxyO15.设a，b，都为正数，且ab，对于函数图象上两点，.（1）若，则点C的坐标是；（2）过点C作x轴的垂线，交函数的图象于D点，由点C在点D的上方可得不等式：.【解析】（1）设点，因为点，则，所以.（2）因为点C在点D的上方，则，所以.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)设角A，B，C为ABC的三个内角.（）若，求角A的大小；（）设，求当A为何值时，f(A)取极大值，并求其极大值.【解析】（）由已知，即.（2分）所以，即. （4分）在ABC中，因为，则，所以，从而.（5分）而，即. （6分）（）因为（8分）因为，则.由，得，所以，即.所以当时，为增函数；当时，为减函数. （10分）故当时，取极大值，且极大值为 （12分）17.(本小题满分12分)甲、乙两名射击运动员进行射击选拔比赛，已知甲、乙两运动员射击的环数稳定在6，7，8，9，10环，其射击比赛成绩的分布列如下：甲运动员：678910P0.160.140.420.10.18乙运动员：678910P0.190.240.120.280.17（）若甲、乙两运动员各射击一次，求同时击中9环以上（含9环）的概率；（）若从甲、乙两运动员中只能挑选一名参加某项国际比赛，你认为让谁参加比赛较合适？并说明理由.【解】（）记“甲运动员击中环”为事件 ；“乙运动员击中环”为事件；“甲、乙两运动员同时击中9环（含9环）”为事件C. （2分）因为，. （4分）所以.故甲、乙两运动员同时击中9环以上（含9环）的概率为0.126. （6分） （）由分布列可知，.（7分） （8分）又. （9分） （10分）因为，所以甲、乙两运动员射击成绩的均值相等，但甲射击成绩的稳定性比乙要好，故选派甲参加比赛较合适. （12分）18.(本小题满分12分)ABCDEF如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AEBE，平面ABCD平面ABE，点F在CE上，且BF平面ACE.（）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；（）求点D到平面ACE的距离. 【解】（）因为BF平面ACE，所以BFAE. （2分）因为平面ABCD平面ABE，BCAB，平面ABCD平面ABEAB，所以BC平面ABE，从而BCAE. （5分）于是AE平面BCE，故平面ADE平面BCE. （6分）（）方法一：连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.ABCDEFMG因为BF平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. （8分）因为AE平面BCE，所以AEBE.又AEBE，所以AEB是等腰直角三角形.因为AB2，所以BE. （9分）在RtCBE中，. （10分）所以.故点D到平面ACE的距离是. （12分）方法二：过点E作EGAB，垂足为G，因为平面ABCD平面ABE，所以EG平面ABCD.因为AE平面BCE，所以AEBE.又AEBE，所以AEB是等腰直角三角形，从而G为AB的中点.又AB2，所以EG. （8分）因为AE平面BCE ，所以AEEC. 又AEBE，. （10分）设点D到平面ACE的距离为，因为ACEVEACD，则.所以，故点D到平面ACE的距离是.（12分）19.(本小题满分13分) 如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？ 乙厂支流500万m3/天甲厂700万m3/天【解】（）据题意，x、y所满足的所有条件是， （4分）即. （6分）Axyo121.44x5y=8l（）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则目标函数z1200x1000y200(6x5y). （7分）作可行域，如图. （10分）平移直线l：6x5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，z取最大值，此时z1200110000.82000（元）. （12分）故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. （13分）20.(本小题满分13分)设向量a(x1，y)，b(x1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|b|4. （）求点P的轨迹方程；（）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.【解】（）由已知， （1分）所以动点P的轨迹M是以点为焦点，长轴长为4的椭圆. （3分）因为，则. （4分）故动点P的轨迹M的方程是. （5分）（）设直线BC的方程为，由. （6分）设点，则，. （7分）所以. （8分）由题设，点A的坐标是(2，0)，则点A到直线BC的距离. （9分）所以.令，则. （10分）设，则.因为当时，则函数在上是增函数. （11分）所以当时，从而，所以. （12分）故ABC的面积存在最大值，其最大值为. （13分）21.(本小题满分13分)设数列的前项和为，已知(nN*).（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意nN*且n2，都有成立，求的最大值；（）令，数列的前项和为，求证
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