高考第一轮复习数学排列、组合和二项式定理(附答案).doc

素质能力检测（4）一、填空题（每小题5分，共30分）1.（2004年东北三校模拟题）已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有A.30种 B.10种 C.24种 D.16种解析：五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通.所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.答案：D2.（2004年湖北八校模拟题）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种解析：我们可以这样排，首先将乙、丙绑定为一个位置，排法有AA种，然后将甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有AA种，则符合条件的站法有AAAA=192种，选B.答案：B3.（理）在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）2004的展开式中x3的系数等于A.CB.CC.2CD.2C解析：含x3的系数为C+C+C+C=C.故选B.答案：B（文）在（）5的展开式中的系数等于A.10B.10C.20D.20解析：本题考查二项式定理，（a+b）n中第r+1项T=Carbnr，则T=C（）r（）5r=C2r（2）5rx2r5.由题知2r5=1，则r=2，则的系数为C22（2）52=C（8）=20，故选D.答案：D4.如下图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有A.8种B.12种C.16种D.20种解法一：桥梁的建设有两大类：（1）A、B、C、D四岛之间依次建桥，如AB、BC、CD一种方案，AC、CD、DB一种方案等.其建造方案共有m1=12（种）.（2）四岛中的某一岛与其他三岛之间建桥，如AB、AC、AD等其建造方案共有m2=C=4（种）.由分类计数原理可知N=m1+m2=16（种）.解法二：把四个岛看成三棱锥的四个顶点，四棱锥有6条棱，从中选3条把A、B、C、D连起来，有C种方法，其中共面时不合题意，则共有C4=16（种）.答案：C5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30B.60C.120D.240解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有.再将余下的6人中分成两组有CC.故有CC=60（种）.答案：B6.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有A.90个B.99个C.100个D.112个解析：由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有1010种=100种.故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）7.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个.（用数字作答）解析：能被5整除的四位数的个位数只能是5或0，必须从1，3，5中选取5或从0，2，4，6中选取0.（1）选取0不选取5，能被5整除的四位数有CCA=36（个）；（2）选取5不选取0，能被5整除的四位数有CCA=36（个）.（3）同时选取0和5，能被5整除的四位数有CC（A+AA）=60（个）.其中能被5整除的四位数共有132个.答案：1328.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_种不同的可能.（用数字作答）解法一：A不是第一名有A种.A不是第一名，B不是第三名有A种.符合要求的有AA=18种.解法二：第一名有3种，第二名有3种，第三名有1种，第四名有2种，第五名有1种，则完成这件事有33121=18种.答案：189.若（12x）2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004（xR），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+（a0+a2004）=_.（用数字作答）解析：在（12x）2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004中令x=1，得a0+a1+a2+a2004=（12）2004=1，又a0=1，a1+a2+a2004=0.（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+（a0+a2004）=2004.答案：200410.将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_.（用数字作答）解析：分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有C种放法.第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得C=45.答案：45三、解答题（本大题共4小题，共54分）11.（12分）中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法有多少种?分析：显然，相对位置（比如，）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（，）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的标准.解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有CCC1=24种；若、或、同色，另两区域不同色，则有2C32=48种；若、与、分别同色，则有C A=12种.故共有24+48+12=84种.解法二：有4种可能，有3种可能，可与相同或不同，故共有433+4322=84种方法.12.（14分）（理）某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有A种方法；（2）2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；（3）2张2一起出，3张A分开出，有A种方法；（4）2张2一起出，3张A两次出，有CA种方法；（5）2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；（6）2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法.因此，共有不同的出牌方法A+A+A+CA+ A+CA=860种.（文）抛物线方程y=ax2+bx+c的各项系数a、b、c2，1，0，1，2，3，4，且a、b、c两两不等.（1）过原点的抛物线有多少条?（2）过原点且顶点在第一象限的抛物线有多少条?解：（1）抛物线过原点，则c=0.从2，1，1，2，3，4中任取2个数作为a、b，有A=30条.（2）顶点在第一象限，CCC=9.过原点且顶点在第一象限的抛物线有9条.13.（14分）7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同排法?（1）甲、乙必须排在一起；（2）甲不在排头，乙不在排尾；（3）甲、乙、丙互不相邻；（4）甲、乙之间必须隔一人.解：（1）（整体排列法）先将甲、乙看作一个人，有A种排法，然后甲、乙换位，所以不同的排法有AA=1440种.（2）（间接法）甲在排头或乙在排尾的排法共2A种，其中都包含甲在排头且乙在排尾的情形，故有不同的排法A2A+A=3720种.（3）（插空法）把甲、乙、丙插入其余4个元素产生的5个空，有AA=1440种.（4）先从其余5人中选1人有5种选法，放在甲、乙之间，将三人看作一个有A种，然后甲、乙换位有A种，共有5AA=1200种方法.评述：解决“相邻”问题一般用整体法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.14.（14分）已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.解：末三项的二项式系数分别为C、C、C，由题设，得C+C+C=121，即C+C+1=121，n2+n240=0.n=15（n=16舍去）.T=C（3x）r=C3rxr，设T项与Tr项的系数分别为t与tr，则t=C3r，tr=C3，令1，即= 1，解得r12.也就是说，当r取小于12的自然数时，都有trt，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r=12时，t=tr，即t13=t12，展开式中系数最大的项是T12=C311x11，T13=C312x12，当n=15时，二项式系数最大的是第8、9项，分别为C37x7与C38x8.评述：本题考查