（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用举例（讲）（含解析）.docx

第07讲 解三角形及其应用举例 -讲1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用.2.高考预测：（1）测量距离问题；（2测量高度问题；（3）测量角度问题.（4）主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题，关键是弄懂有关术语，认真理解题意. 从浙江卷来看，本节是高考中的一个“冷考点”三角形中的应用问题，主要是结合直角三角形，考查边角的计算，也有与导数结合考查的情况.3.备考重点：（1）掌握正弦定理、余弦定理；（2）掌握几种常见题型的解法.（3）理解三角形中的有关术语.知识点1实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度：定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)【典例1】（2019福建高考模拟（理）如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点从点测得，从点测得，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为( )ABCD【答案】C【解析】根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2，在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC180756045，则有，变形可得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2+BC22ACBCcosACB9，则AB3；故选：C【总结提升】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解【变式1】（2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸， 的俯角分别为， ，此时气球的高是，则河流的宽度等于 （ ）A B C D 【答案】C【解析】因为从气球上测得正前方的河流的两岸， 的俯角分别为， ，故选C.考点1 测量距离问题【典例2】（2019福建高考模拟（文）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两点的距离为_【答案】【解析】由已知，ACD中，ACD15，ADC150，DAC=15由正弦定理得，BCD中，BDC15，BCD135，DBC=30，由正弦定理，所以BC；ABC中，由余弦定理，AB2AC2+BC22ACBCcosACB解得：AB，则两目标A，B间的距离为故答案为：【总结提升】测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【变式2】（2019四川高考模拟（理）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离_.【答案】【解析】在中，由题意可得由正弦定理在中，由于由正弦定理可得可得中，由余弦定理可得 解得即C、D之间的距离为故答案为.考点2 测量高度问题【典例3】（2018上海高考模拟）如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度，为楼顶，线段的长度为，在处测得，在处测得，且此时看楼顶的仰角，已知楼底和、在同一水平面上，则此楼高度_（精确到）【答案】【解析】在ABD中，由正弦定理，得：，由AB600，得：BD300，在RtBCD中，因为，所以，CDBD150212，故答案为.【总结提升】求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题【变式3】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二）我国古代著名的数学家刘徽著有海岛算经.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为_步. （参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.考点3 测量角度问题【典例4】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【答案】【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.【总结提升】1.解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点2测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角【变式4】某沿海四个城市、的位置如图所示，其中， 位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行， 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则_【答案】【解析】设船行驶至，则，连接，过作于，则，, ,，所以，所以，又， ，可得，所以，故.考点4 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例5】（2019横峰中学高考模拟（文）横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB、BC、CD、DE、EA、BE为学校主要道路(不考虑宽度)，.(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）如图所示，连接，在中，由余弦定理可得，解得，因为,所以又由，所以,在直角中，,（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以 当且仅当时，即时，取得最大面积，即生活区面积的最大值为. 【规律方法】利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解【变式5】（2018江苏高三月考）某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距的，两个位置分别为300,100名学生，在道路上设置集合地点，要求所有学生沿最短路径到点集合，记所有学生进行的总路程为.（1）设，写