线性规划与投资组合的优化问题-毕业论文

包头师范学院包头师范学院 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题题目 ：目 ： 投 资 组 合 中 的 优 化 问 题投 资 组 合 中 的 优 化 问 题 学 生 姓 名学 生 姓 名 ：罗 三 龙罗 三 龙 学学院院 ：数 学 科 学 学 院数 学 科 学 学 院 专专业 ：业 ：数 学 与 应 用 数 学 专 业数 学 与 应 用 数 学 专 业 班班级 ：级 ：0 80 8 级 本 科 二 班级 本 科 二 班 指 导 教 师指 导 教 师 ：宋 志 平宋 志 平教 授教 授 二二 一二一二 年年 五五 月月 I 摘要 线性规划数学模型是描述实际问题的数学形式,它反映了实际问题数量间的 本质规律。由于投资组合的实际问题往往比较复杂,建立线性规划数学模型时,对 某一个问题要认真分析,抓住最本质的因素,用简单的数学式子将其描述出来,使 建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。 从实际问题中建立数学模型 一般要根据影响所要达到目的的因素找到决策变量， 再由决策变量和所要达到目 的之间的函数关系确定目标函数， 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要 满足的约束条件。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数,约束条件为线 性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型并利用相关软件求解， 就能对有 限的资源进行合理分配和合，从而获得最佳经济效益。 本文由以下三部分组成的：第一部分初步介绍了投资组合与线性规划的联 系； 第二部分介绍了线性规划的数学模型；第三部分介绍了线性规划解决投资组 合中的优化问题。 关键词：线性规划；单纯形法；投资组合； 摘要部分去掉第一段，增加本文关于投资组合的 一般线性规划模型、动态模型、整数规划模型的介绍 及其解法、结论的简要概括。 修改后，要对全文认真、仔细地研读，发现错误， 及时改正，然后可以打印了。并要对文中的例题及其 解法，包括计算机程序熟练掌握，准备答辩。 II Abstract Linear programming mathematical model was developed to describe the actual problems in mathematical form, it reflects the actual problem between the number of laws of nature. As a result of portfolio practical problems are often more complicated, to establish the linear programming mathematical model, to a question should be analysed seriously, seize the most essential factors, using simple mathematical formula to describe, to establish the mathematical model which is simple and can correctly reflect the essence of the problem. From the real problems in the establishment of mathematical models of general According to the influence factors to achieve the purpose of finding the decision variables, then the decision variables and to achieve the objective function of the relationship between the objective function was determined by the decision variables, restrictive conditions to determine the decision variables are the constraint conditions. When we get the mathematical model of objective function is a linear function, constraint condition for linear equations or inequalities that this mathematical model for linear programming model and using the software solution, can be of limited resources reasonable allocation and combination, so as to achieve the best economic benefit. This paper consists of the following three parts : the first part introduces the initial portfolio and linear programming contact; the second part introduces the mathematical model of linear programming; thethirdpartintroduceslinearprogrammingtosolveportfolio optimization problems. Keywords：Linear programming; simplex method; investment portfolio; 目录 引言1 1、投资组合与线性规划错误！未定义书签。错误！未定义书签。 2、线性规划问题的数学模型2 3、投资组合中的优化问题3 3.1 一般线性规划解决投资组合中的优化问题.4 3.1.1 投资组合问题.4 3.1.2 最佳广告投放方案.6 3.2 投资组合中的动态规划问题8 3.3 投资组合中的整数规划问题.10 结论错误！未定义书签。错误！未定义书签。 参考文献13 1 引言 随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断 提高盈利水平，增强其获利的能力，在成本、生产、运输、销售等环节中提高效 率，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的市场竞争中立于不败之地。在各类经 济活动中， 经常遇到这样的问题： 在生产条件不变的情况下， 如何通过统筹安排， 改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效 益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”问题。线性 规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行 统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我 们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好 的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高） 。也可以在满足一定需求条件下， 进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理 安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。下 面我们简单的介绍线性规划与投资组合的关系并运用线性规划解决一些投资组 合中的实际问题。 2 1，投资组合与线性规划 投资指货币转化为资本的过程。 投资可分为实物投资、 资本投资和证券投资。 前者是以货币投入企业，通过生产经营活动取得一定利润。后者是以货币购买企 业发行的股票和公司债券，间接参与企业的利润分配。投资者把资金按一定比例 分别投资于不同种类的项目或有价证券或同一种类有价证券的多个品种上， 这种 分散的投资方式就是投资组合。通过投资组合可以分散风险，即“不能把鸡蛋放 在一个篮子里” ，这是证券投资基金成立的意义之一,市场持续震荡，风险凸显。 在选择基金理财投资时，秉承“一堆鸡蛋多个篮子”的理念，优选基金做投资组 合，更助你抗风险。基金组合应结合自身所处生命周期，承受风险能力与投资期 限而投资多只各类型基金，均衡风险管理，增强投资的稳定性，使基金投资在各 个阶段都能获得较好的收益，而不能简单地将股票基金累计相加。那么，投资人 应如何选择基金作为自己的投资组合呢？要想让自己的投资得到最大的收益就 应遵循线性规划。线性规划是运筹学的一个最基本的分支，它已成为帮助各级管 理人员进行决策的一种十分重要的工具。传统的管理只注重定性分析，已远远不 能适应当今社会发展的需要。 现代化管理要求采用定性分析和定量分析相结合的 方法，一切管理工作要力求做到定量化，最优化，于是就产生了各种各样的管理 优化技术。线性规划在世界上各个工业化国家已经得到了极为广泛的应用，为那 些国家的公司，企业节省了成千上万的资金，那么线性规划主要有那些方法来解 决实际问题。 二、线性规划问题的数学模型 通常称现实世界中人们关心，研究的实际对象为原型。模型是将某一部分信 息简缩，提炼而构造的原型替代物。数学模型则是对现实世界的一个特定对象， 为达到一定目的，根据内在规律做出必要的简化假设，并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。 线性规划问题的数学模型包含三个组成要素：（1） 决策粗变量， 只决策者为实现规划目标采取的方案，措施，是问题中要确定的未知量； （2）目 标函数，指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数； （3）约束条件，指 决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等 式。如果在规划问题的数学模型中，决策变量为可控的连续变量，目标函数和约 束条件都是线性的，这类模型称为线性规划问题的数学模型。 一般线性规划问题的数学模型可表示为以下几种形式： 3 1122 11112211 21122222 1122 1 m ax(m in)() ( ( . . ( ,0 nn nn nn mmm nnm n zc xc xc x axaxaxb axaxaxb s t axaxaxb xx 或 或， ） 或， ） 或， ） 以上模型的简写形式为 1 1 max (min) (1,) . . 0(1, ) n jj j n ijji j j zc x a xbim st xjn 或 或，） 式中：max表示求极大值；min表示求极小值；. .st表示受约束于或约束条件;z 为目标函数; j x为决策变量; ij a， j b和 j c分别是消耗系数，需求系数和收益 系数, 在具体的线性规划问题中具有不同的经济学意义，一般都是已知实数。 以上部分做了修改，注意保存。 三、投资组合中的优化问题三、投资组合中的优化问题下面句子不通下面句子不通 随着经济全球化的不断发展，企业棉纶更加激烈的市场竞争。企业必须不断 提高盈利水平、增加其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只 有自己的优势、提高企业效率、降低成本、形成企业的核心竞争力，才能在激烈 的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用 线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大 化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式是难以生存的，所以就有必 要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产 成本，提高企业的效率。 利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织 安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高） 。也可以在 满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确 定后、统筹兼顾、合理安排、用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时 4 间等）去完成任务。 ： 下面介绍了线性规划在投资组合上的应用案例。 3.1 一般线性规划解决投资组合中的优化问题一般线性规划解决投资组合中的优化问题 3.1.1 投资组合选择问题投资组合选择问题 在金融行业中， 投资组合管理人可以利用线性规划工具定量化地确定投资比 例。 假设中国投资基金正在发行一个固定收益共同基金，基金经理预测到发行结 束之后，可以售出 1 亿份基金（1 份基金等于人民币 1 元） 。基金管理人的首要 目标是获取投资收益，第二个目标是通过分散投资控制风险。假设该固定收益基 金经理所面临的企业债券情况如表 1 所列。 表 1：企业债券基本情况 债券名称当前收益率到期年份等级 A8.52010非常好 B9.02019很好 C10.02006一般 D9.52007一般 E8.52011非常好 F9.02014很好 为了符合分散投资目的， 基金管理人决定投资于任何一只债券的资金额不能 超过总基金的 25%，至少有一半以上资金投资于长期债券（2009 年以后） ，投资 在等级为“一般”债券上的资金额不能超过总计金额的 30%。 建立线性规划模型的第一步是确定决策变量。在这个问题中，显然投资在每 只企业债券上的资金额为决策变量，那么一共有 6 个变量： i X 投资在第i只企业债券上的资金额（万元） 。 显然，, ,iA B C D E F。 第二部是确定目标函数。 投资目标是选择, , i X iA B C D E F， 是收益最大， 根据上面的表第二列，当前基金的收益率为： 0.0850.090.10.0950.0850.09 ABCDEF PXXXXXX 最后一步是找出所有约束条件。 我们可以看到， 这个问题共有 9 个约束条件， 第一个约束条件是投资在 6 只企业债券上的资金额相加之后应等于 10 000 万元， 接下来的约束条件是投资于债券i金额不能超过 25%的上限；投资于长期债券 （2009 年以后）的金额必须超过 50%；以及投资在等级为“一般”债券上的资金 5 额不能超过总资金额的 30%。 由于共同基金的初始资金为 10000 万元，用于购买债券的资金必须满足： 10000 ABCDEF XXXXXX 投资于债券i的上限要求： 2500, , i XiA B C D E F 投资于长期债券（2009 年以后）的要求： 5000 ABEF XXXX 投资等级的限制： 3000 CD XX 投资金额不能为负的要求： ,0 ABCDEF XXXXXX 最后，给出债券投资计划完整的线性规划模型： max0.0850.090.10.0950.0850.09 10000 2500 2500 2500 2500 . . 2500 2500 5000 3000 ,0 ABCDEF ABCDEF A B C D E F ABEF CD ABCDEF PXXXXXX XXXXXX X X X X st X X XXXX XX XXXXXX 用 LINGO 求解： Max=0.085*x1+0.09*x2+0.1*x