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第五章习题,1.,据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由p102例5所得的指数分布的数学期望和方差的结果,有,解 设每只元件的寿命为Xk(k=1,2,16),则Xk相互独立,且均服从均值为100小时的指数分布.,E(Xk)=100, D(Xk)=1002=10000 , (k=1,2,16),按定理一(独立同分布的中心极限定理),X N(1600, 4002),近似地,故 PX1920=1-PX1920,=1-0.7881=0.2119,又设16只元件的寿命的总和为X.,5.,有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?,解 若将从这批木柱中每取出一根木柱看作是一次试验,取出100根木柱就是作了100次试验,各次试验是相互独立的,一根木柱短于3m的概率是0.2,则Xb(100,0.2),其分布律为,所求概率为,用此式较难计算.,利用正态分布,由于np=20, np(1-p)=16=42,按定理三(棣莫弗-拉普拉斯定理),X N(20, 42),近似地,=1-0.9938=0.0062,设取出的100根木柱中短于3m的木柱数为随机变量X,7. 一食品店有三种蛋糕出售,由于售出哪一种蛋糕是随机的,因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1(元),1.2(元),1.5(元)各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5.某天售出300只蛋糕.(1)求这天的收入至少400(元)的概率;(2)求这天售出价格为1.2(元)的蛋糕多于60只的概率.,解 (1) 设Xk(k=1,2,300)表示第k个蛋糕售出的价格,则 Xk的分布律为,E(Xk)=10.3+1.20.2+1.50.5=1.29,E(Xk2)=120.3+1.220.2+1.520.5=1.713,D(Xk)= E(Xk2)-E(Xk)2=1.713-1.292=0.0489,又设X表示这天的总收入,则,按定理一,X N(387, 14.67),近似地,所求概率为 PX400=1-PX400,=1-0.9997=0.0003,(2)设Y表示这天售出价格为1.2(元)的蛋糕个数,则 Yb(300, 0.2),np=3000.2=60, np(1-p)=600.8=48,按定理三(棣莫弗
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