证券组合分析

收益率=收入-支出支出100%r=红利+期末市价总值-期初市价总值期初市价总值100%通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。我们可假定收益率服从某种概率分布，即已知每一收益率出现的概率，则：Er=i=1nripi假设证券的月或年实际收益率为ri（t =1，2，n），那么估计期望收益率（r）的计算公式为：r=1nt=1nrt风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。如果偏离程度用来度量，则平均偏离程度被称为“方差”，记为。2r=i=1nri-E(r)2pi假设证券的月或年实际收益率为 （t=1，2，n），那么估计方差（）的公式为：S2=1n-1t=1nrt-r2当n 较大时，也可使用下述公式估计方差：S2=1nt=1nrt-r2投资比重：XA+XB=1组合的预期收益率：Rp=XARA+XBRB权数可以为负，比如RA0，则表示该组合卖空了证券A，并将所得的资金连同自有资金买入证券B，因为RA+RB=1，故有RB=1-RA0。负权数表示卖空证券占总资金之比。组合的风险（组合收益率的方差）：p2=XA2A2+XB2B2+2XAXBAB=XA2A2+XB2B2+2XAXBABABcovA,B=ABAB两种证券收益的相关性（离差之积的期望）：AB=i(RAi-RA)(RBi-RB)Pi证券组合P=（X1、X2、Xn）的收益率为：Rp=i=1nXiRi推导可得证券组合P的期望收益率和方差为：Erp=i=1nxiE(ri)p2=i=1nj=1nXiXjcovXi,Xj=i=1nj=1nXiXjijijA、B 的证券组合P 的组合线由下述方程所确定：Erp=xAErA+(1-xA)E(rB)p2=XA2A2+(1-XA)2B2+2XA(1-xA)ABAB1. 完全正相关下的组合线。在完全正相关下, AB=1,p2=XA2A2+(1-XA)2B2+2XA(1-xA)ABP=xAa+(1-xA)B假定不允许卖空，即0xA，xB1，则：P=xAa+(1-xA)B因为，Erp与xA是线性关系，而P与xA是线性关系，所以，P与Erp之间也是线性关系。因此，由证券A与证券B构成的组合线是连接这两点的直线。2. 完全负相关下的组合线。在完全负相关情况下，AB=-1，p2=XA2A2+(1-XA)2B2-2XA(1-xA)ABP=xAa-(1-xA)BP与Erp之间是分段线性关系。在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A 和证券B 可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。这个适当比例通过令式中P=0可得：xA=BA+BxB=AA+B所得到的无风险收益率为：Erp=BErA+AE(rB)A+B3. 不相关情形下的组合线。当证券A 与B 的收益率不相关时，AB=0.p2=XA2A2+(1-XA)2B2P与Erp的曲线是一条经过A和B的双曲线。为了得到方差最小的证券组合，对公式求极小值：dp2dxA=2xAA2-2(1-XA)B2令dp2dxA=0，解得：xA=B2A2+B2xB=A2A2+B2最小方差：A2B2A2+B2min(A2,B2)相关系数越小，在不卖空的情况下，证券组合的风险越小。特别是完全负相关的情况下，可获得无风险组合。在不相关的情况下，虽然得不到一个无风险组合，但可得到一个组合，其风险小于A、B中任何一个单个证券的风险。 当A与B 的收益率不完全负相关时，结合线在A、B之间比不相关时更弯曲，因而能找到一些组合（不卖空）使得风险小于A和B的风险，比如AB=-0.5 的情形。但AB=0.5时，得不到一个不卖空的组合使得其风险小于单个证券的风险。可见，在不卖空的情况下，组合降低风险的程度由证券间的关联程度决定。一般而言，当由多种证券（不少于3 种证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的E-坐标系中的一个区域。求解可行域的公式具有如下形式：Erp=i=1nxiE(ri)i=i=1nxi2i2+1ijnnXiXjijiji=1nxi=1资本资产定价模型当市场处于均衡状态时，最优风险证券组合T就等于市场组合M，即由风险证券构成，并且其成员证券的投资比例与整个市场上风险证券的相对市值比例一致的证券组合。一般用M表示市场组合。根据定义，如果市场上共有n 种风险证券正在流通，分别记为证券1、证券2、证券n，那么市场组合M中包含了这n种风险证券，则风险证券i 在市场组合M中的投资比例xi为：xi=PiQik=1nPkQkPi证券i 的市场价格；Qi证券i 的流通股数。资本市场线方程。在资本资产定价模型假设下，当市场达到均衡时，市场组合M成为一个有效组合；所有有效组合都可视为无风险证券F与市场组合M的再组合。资本市场线揭示了有效组合的收益和风险之间的均衡关系，这种均衡关系可以用资本市场线的方程来描述：Erp=rF+ErM-rFMpErp、p有效组合P 的期望收益率和标准差；ErM、M市场组合M 的期望收益率和标准差；rF无风险证券收益率。有效组合的期望收益率由两部分构成：一部分是无风险利率rF，它是由时间创造的，是对放弃即期消费的补偿；另一部分则是 ErM-rFMp，是对承担风险p的补偿，通常称为“风险溢价”，与承担的风险的大小成正比。其中的系数ErM-rFM代表了对单位风险的补偿，通常称之为“风险的价格”。资本市场线只是揭示了有效组合的收益风险均衡关系，而没有给出任意证券或组合的收益风险关系。证券市场线。为能够分辨各个成员证券对市场组合风险贡献的大小，我们自然要对衡量市场组合风险水平的指数方差进行考察。数学上容易证明，市场组合的方差可分解为：M2=x11M+x22M+xiiMiM=j=1nxjMijxi第i种成员证券在市场组合M中的投资比例；iM第i种成员证券与市场组合M之间的协方差，即证券i与M中每种证券的协方差的加权平均数。xiiM可被视为投资比重为xi的第i种成员证券对市场组合M的风险贡献大小的绝对度量， xiiMM2便被视为投资比重为xi的第i种成员证券对市场组合M的风险贡献大小的相对度量。期望收益率ErM-rF可被视为市场对市场组合M的风险补偿，也即相当于对方差M2的补偿，于是分配给单位资金规模的证券i的补偿按其对M2做出的相对贡献应为：xiiMM2ErM-rF最后，单位资金规模的证券i的补偿又等于Eri-rF。于是有：Eri-rF=iMM2ErM-rF记i=iMM2，则：Eri=rF+ErM-rFi单个证券i的期望收益率与其对市场组合方差的贡献率i之间存在着线性关系，而不像有效组合那样与标准差（总风险）有线性关系。因而从定价角度考虑，单个证券的风险用i来测定更为合理。i有一个特殊的名称证券i的i系数（贝塔系数）。对任何一个证券组合P，设其投资于各种证券的比例分别为，则有：Erp=i=1nxiEriErp=i=1nxirF+ErM-rFi令p=i=1nxii称为证券组合P 的“系数”，于是上述等式被改写为：Erp=rF+ErM-rFp无论单个证券还是证券组合，均可将其系数作为风险的合理测定，其期望收益与由系数测定的系统风险之间存在线性关系。这个关系在以Erp为纵坐标、p为横坐标的坐标系中代表一条直线，这条直线被称为“证券市场线”。当P为市场组合M 时，p=1，因此，证券市场线经过点1,ErM；当P为无风险证券时，系数为0，期望收益率为无风险利率rF，因此证券市场线亦经过点0,ErF。系数反映了证券或组合的收益水平对市场平均收益水平变化的敏感性。Erp=rF+pErM-rFp可以改写为类似其他教材中提到的证券或组合的特征线：rp=ap+prM+p按照特征线方程，证券或组合的风险为：p=p2M2+p2证券或组合的风险分为两部分，其中p2M2为系统性风险，p2为非系统风险。因此，系数可以用来衡量证券承担系统风险的大小。当市场处于牛市时，在估值优势相差不大的情况下，投资者会选择系数较大的股票，以期获得较高的收益；反之，当市场处于熊市时，投资者会选择系数较小的股票，以减少股票下跌的损失。资本资产定价模型的应用(一) 资产估值市场对证券在未来所产生的收入流（股息加期末价格）有一个预期值，这个预期值与证券i 的期初市场价格及其预期收益率Eri之间有如下关系：Eri=E(股息+期末价格)期初价格-1均衡的期初价格=E(股息+期末价格)1+Eri当把期末价格视作未来现金流的贴现值时，也可以被用来判断证券市场价格是否被误定。例7：A 公司今年每股股息为0.5 元，预期今后每股股息将以每年10%的速度稳定增长。当前的无风险利率为0.03，市场组合的风险溢价为